La continuité : la continuité en un point

Rappel

\(lim_0 \frac{7x}{sin⁡14x} \)

Rappel

\(lim_0 \frac{7x}{sin⁡14x} = \frac{ 7}{14} = \frac{1}{2} v.v\)

Motivation

Que faut-il faire si votre prédécesseur est parti pour un poste que tu as remplacé ?

Motivation

Il faut que le nouveau entrant assure la continuité des affaires

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui?

Annonce du sujet

Nous allons étudier aujourd'hui la continuité : la continuité en un point

Quand est-ce qu’une fonction f est continue en un point x = a ?

LA CONTINUITE EN UN POINT

a. Définition : Une fonction f est continue en un point x = a

                         si et seulement si :

1° f est définie en a c’est-à-dire f(a) est un nombre réel

 2° \(lim_a f(x) = f(a)\)

Quand est-ce que deux angles sont dits orthogonaux ?

Remarque : - Si l’une de deux conditions n’est pas vérifiée,

                    alors la fonction est dite discontinue en x = a

                  - La condition (2) signifie que \(lim_a f(x) = lim_a f(x)\)

Exemple : Etudiez la continuité de la fonction \(f (x) = \frac{1}{x-3} \) en x = 3.

Si x – 3 = 0              dy : ] - ∞, 3 [ ∪ [3, + ∞ [

    x = 3

\(f (3) = \frac{1}{3-3} = ∞\)

Montrez que f (x) = x² + x est continue au point x = 1 ?

f (x) = x² + x

   x = 1

df = R  → f (1) = 1² + 1 = 2 ∪  R

\(lim_1 1^2 + 1 = 2 \)

D’où la fonction f est continue au point x = 1

Etudiez la continuité de la fonction ci-après :

F (x) = 3 + (x - 4) en x = 4

1. df = R

2. f (x) = f (x) = 3+ | 4-4 | = 3

3 + | x-4 |   \(\left\{ \begin{array}{rcr} 3+ x – 4 & si x – 1 ≥ 0 \\ 3 – x + 4 & si x – 4 ≤ 0 \\ \end{array} \right.\)

\(lim_{X→4^+} 3t 4 – 4 = 3\\ lim_{X→4^-} 3 – 4 + 4 = 3 \)

Etudiez le continuité de la fonction ci-après :

\(h (x) = \frac{x-2}{x+4} en x = - 4\)