a. Rappel
Quelle sont les formules de développement en série de :
1. Taylor ?
a. Rappel
Quelles sont les formules de développement en série de :
f(x)=f(a)+f′(a)h1′+f′(a)h22′+f′(a)h33′+.....+f(a)nhnn!+Rn
2. Mac-Laurin
f(x)=f(o)+f′(o)(x)1′+f′(o)x22′+f′(o)x33′+.....+f(o)n(x)nn!+Rn
b. Annonce du sujet
Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?
b. Annonce du sujet
Aujourd'hui nous allons étudier ou résoudre les exercices sur le développement en série.
Calculez le développement de :
a. Sin x
f(x)=sin x →f(o)=sin o=o
f'(x)=cosx →f'(o)=cos o=1
f''(x)=-sinx →f''(o)=o
f'''(x)=-cosx →f'''(o)=-1
fπ(x)=x-x36 →fπ(o)=o
f(x)=x−x36
b.11−X
11−x=(1−x)−1
f(o)=(1-O)-1=1
f'(x)=-1(1-x)-2(1-x)'=f''(o)=1
f''(x)2(1-x)-3 → f''(o)=2
f''(x)=2.(-3)(1-x)-4(-1)=6(1-x)-4 f'''(o)=6
fπ(x)=24 (1-x)-5 →fπ(o)=24.
f(x)=1+x+x3+x4+x5+x6+..........+nn
Développez : √1−x
f(x)=√1−x=(1−x)12f(x)=1
f′(x)=12(1−x)12−1=12(1−x)−12
f′(o)=(1)122=−12
f″
f'''(o)=-\frac{1}{4}(-\frac{3}{2}=-\frac{3}{8}(1-x)^{\frac{5}{2}}
f'''(o)=\frac{-3}{8}=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4.2}-\frac{x^3}{8.2}=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}
\frac{1}{\sqrt[]{1+x}}
f(x)=(1+x)^{\frac{-1}{2}}
f(o)=1
f'(o)=-\frac{1}{2}(1+x)^{\frac{-1}{2}-1}=-\frac{1}{2}(1+x)^{\frac{-3}{2}}
f'(o)-\frac{1}{2}(1)^{\frac{-3}{2}}=\frac{-1}{2}
f''(x)=\frac{-1}{2}(-\frac{3}{2})(1+x)^{\frac{-3}{2}-1}=\frac{3}{4}(1+x)^{\frac{-5}{2}}
f''(o)=\frac{3}{4}
