Représentation des nombres complexes (suite 1)

Q4. Effectuer les opérations: le produit, le quotient, la puissance nième et la racine nième de nombre complexe non nul en utilisant la forme trigonométrie d'un nombre complexe. 

B. Quotient de deux nombres complexes non nuls.

 Soit z₁  et z₂ deux nombres complexes écrits sous la forme trigonométrique. Calculons leur quotient :

C. Puissance d’un nombre complexe et formule de MOIVRE.

Soit un nombre complexe donné sous la forme trigonométrique :

z=|z|(cosθ + isinθ)  (1)

Calculons Zⁿ avec n ∈ N*.   On a deux possibilités :

1. Comme |z|ⁿ=|z|ⁿ  et Arg |z|ⁿ=n

Arg z=n.θ

zⁿ=|z|ⁿ(cosnθ + isinnθ)  (2)

2. En élevant chaque membre de (1) à la puissance n^e, on obtient :

zⁿ=|z|ⁿ(cosθ + isinθ)ⁿ  (3)

Les égalités (2) et (3) impliquent :

(cosθ + isinθ)ⁿ = cosnθ + isinnθ

C’est la formule de MOIVRE. Elle permet de calculer la n^e puissance d’un nombre complexe non nul. 

d. Racine n^e d’un nombre complexe non nul.

1. Définition:  On appelle racine n^e d’un nombre complexe z, tout nombre complexe u tel que :uⁿ=z.
2. Calcul par la méthode trigonométrique.

Tout nombre complexe non nul possède n racines n^ième distinctes, de même module  et d’arguments  différents de 2kπ/n (k=1,2,3,…,n-1). 

On obtient ces racines n^ièmes par la formule suivante :  

e. Applications de la formule de MOIVRE.

1. Calcul de cos nx et sin nx en fonction de cos x et sin x.

Soit un nombre complexe un nombre complexe zⁿ=(cos x + i sin x)ⁿ  (1)

• Selon la formule de Moivre nous avons : zⁿ=cos nx +i sin nx  (2)
• En utilisant la formule de binôme, on développe le second membre de (1) et obtient la formule cartésienne de zⁿ.

zⁿ=u + i v  avec u=R(zⁿ) et v=I(zⁿ).

Les égalités (2) et (3) permettent d’écrire :

cos nx = u et sin nx = v  qui expriment cos nx et sin nx en fonction de cos x ou sin x.