Construction de l'ensemble C des nombres complexes

Exemple de situation :

Pendant leur leçon de mathématiques, les élèves de 4^ème année des HSC de l’Institut 1 BUTA dans le Bas-Uélé ont reçu, parmi les exercices à résoudre en prérequis, l’équation du deuxième degré suivant :  x²+2x+2=0.

Tous les élèves sont parvenus à conclure que les solutions de cette équation n’existent pas dans R parce que le discriminant est un nombre négatif. L’enseignant leur demande de : a) Poursuivre la recherche des racines de ces équations en posant, dans le discriminant, i²= -1 ; b) Trouver d’autres équations de ce type ; c) Dire si ces racines sont des nombres réels. Justifier la réponse.

Résoudre dans R les équations suivantes :

1. 6x²+7x-3=0
2. 9x²+6x+1=0
3. 3x²-x+2=0

1. Motivation (découverte)

L’enseignant demande aux élèves de (d’) :

• Lire la situation en silence, ensuite à haute voix par deux ou trois élèves ;
• Expliquer la situation en leurs propres termes.

Organisation de la classe et consigne

• Regroupement des élèves à cinq groupes.
• Consigne :

1. Résoudre l’équation donnée dans l’exemple de situation en procédant comme indiqué dans le texte ;
2. Constater à la résolution l’inexistence des solutions de l’équation donnée dans R ;

Dégager les parties réelle et imaginaire des racines écrites sous forme Z=a + bi, a et b étant des réels

Calculons le discriminant ou réalisant de l’équation :

Δ=b²4ac

Δ=7²-4.6.(-3)=121>0

L’équation admet deux racines réelles distinctes

L’équation admet une racine double.

Activités sur le tableau de spécification

• Regroupement organisé.
• Actions à mener :

1. Restitution des étapes de résolution d’une équation du second degré ;
2. Traitement de la situation.

L’équation n’a pas de solution dans R.

1. Compréhension de la situation

• Lecture de la situation en silence et à haute voix par un ou deux élèves désignés ;
• Explications données par deux ou trois élèves et adoption par toute la classe.

1. Pour résoudre l’équation du second degré, il faut :

• Calculer le discriminant ou réalisant de l’équation ;
• Trouver le signe du discriminant.

Trois cas sont possibles :

1^er cas : Δ>0, l’équation admet deux racines réelles distinctes x₁ et  x₂  et  S= {x1, x2. } Le trinôme ax²+ bx + c  se factorise en a(x - x1)(x-x²).

2^ème cas : Δ=0, l’équation admet une racine réelle double x1=x2 et  S= {x1}. Le trinôme ax²+bx+c se factorise en a(x-x1)².

3^ème cas : Δ<0, l’équation n’a pas des racines réelles et S= { }  . Le trinôme ax²+ bx + c ne se factorise pas.