Dérivée des fonctions trigonométriques

Rappel

Calculer la dérivée de la fonction ci-après : \(y = \sqrt[]{x^2+2}\)

Rappel

\(y'= \frac{(x^2+2)'}{2\sqrt[]{x^2+2}} = \frac{2x}{2\sqrt[]{x^2+2}} = \frac{x}{\sqrt[]{x^2+2}} \)

Motivation

Quelles sont les principales fonctions trigonométriques vue dans le cours ? 

Motivation

Les principales fonctions trigonométriques sont : La fonction sinus, cosinus  tangente, cotangente, sécante e cosécante.

De quelle dérivée s’agit – il

Il s’agit des dérivées des fonctions trigonométriques. 

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons étudier la dérivée de fonction trigonométrique.  

Quelle est la dérivée d’une fonction sinus ?

Analyse

DERIVEE DES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES.  

Soit u = u (x) une fonction dérivable

1. y = sin u

Exemple : y = sin 3x

\(y’= (sin 3x)’ = (3x)’ cos 3x\\ y’ = 3 cos 3x\\ 2. y = cos u → y’ = (cos u)’ = - u’ sin u\\ y’ = cos \frac{x}{2} → y’ = \frac{1}{2} sin \frac{x}{2}\\ 3. y = tan u → y’ = (tan u)’\\ = \frac{u'}{sin^2 u} = u’ sin^2 u \)

Déterminer la dérivée d’une fonction on cotangente ?

\(4. y = cot u → y’ = (cot u)’ = \frac{u'}{sin^2 u} = -u cosc^2 u\\ Exemple : y = cot \frac{3x}{2} = - \frac{\frac{3}{2}}{sin^2\frac{3x}{2}}=-\frac{3}{2 sin^2 \frac{3x}{2}}\\ 5. y = sec u → y’ = \frac{u' sin⁡u}{cos^2 u}\\ Exemple : y = 9 sec \frac{ x}{3}\\ y’ = \frac{9\frac{1}{3}sin \frac{x}{3}}{cos^2\frac{x}{3}}\\ 6. y = cose u → y’ = \frac{u cos⁡u}{sin^2 u}\\ Exemple : y = \frac{1}{4} cosec ux\\ y’ = \frac{\frac{1}{4}4. cos4x}{sin^2 4x}=-\frac{cos 4x}{sin^2 4x}\)

Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

\(a. y = sin 2x – 2 sin x\\ b. y = 6x^4, cos 2x\\ c. y = tg \frac{x^2}{x+2} \)

\(a. y = sin 2x – 2 sin x\\ = 2 cos 2x – 2 cosx\\ = 2 (cos 2x – cosx)\\ b. y = (6x^4, cos 2x)’\\ = 24x^3. Cos 2x – 2 sin 2x 6x^4\\ = 24x^3. (cos 2x – 12x^4 sin 2x)\\ = 12x^3 (cos 2x – 2x sin 2x) \\ \)

Calculer la dérivée de la fonction suivante :

y = x + cos 2x

Calculer la dérivée de la fonction suivante :

y = x + cos 2x