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SOMME ET PRODUIT DE DEUX POLYNOMES A REVOIR

Rappel

Effectuez ces opérations :

Motivation

Qu'appelle-t-on cette écriture a x2 + a x6 + 7 y3 ?

Annonce du Sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ?

Analyse 

Prenons quelques exemples

Un polynôme est une somme algébrique de plusieurs monômes.

Exemple

3 a2 b + 5 ab2 + ab2 + 5

3 x2 + 2 x + 1 + x

Calculez la valeur absolue numérique de :

P (x) = x3 - x2 - 7 x

   Pour x = 3

2 a + 3 b - x pour a = -2 b = 4 x = 3

Effectuez ces opérations :

Cette écriture a x2 + a x6 + 7 y3  s'appelle un polynôme.

Aujourd'hui nous allons étudier la somme et produit de deux polynômes.

Un polynôme est une somme algébrique de plusieurs monômes.

Exemple

3 a2 b + 5 ab2 + ab2 + 5

3 x2 + 2 x + 1 + x

Somme et produit de deux polynômes

Réduire les polynômes suivants :

8a - 5b + 3c + 7b - 2a - c+4 =

8a -2a -5b + 7b + 3c - c+4 = 6a + 2b

                 2c +4

12a -4 -a + 6 -6a - 2 =

             a + 4

2 a b x (-3 a b2) = - 6 a2 b3

5 a2 b x3 x 2 a b4 x5 = 10a3 b5 x8

-5 x (- 3 x) x 4 y = 60 xy

3 x 2 a = 6 a

Transformation

3 (a + 2b) = 3a + 6b

- 2a (3 a2 - 5b) = - 6a3 + 10 ab

5 a2 b (-3a3 b2 + 6 a4 - 2 b3) = - 15 a5 b3

           + 30 a6 b - 10 a2 b4

Développement

(3a -2) (-5a-4) = 15 a2 - 12 a + 10 a + 8

                        → 15 a2 - 2a +8

(-5x+2y) (-3a -6b x+7)

Mise en évidence

3a+3b = 3 (a+b)

24 a2 + 30 a3 = 6 a2 (4 +5 a)

15 a2 b3 x4 - 30 a2 b4 x + 10 a2 b3 =

    5 a2 b3 (3x4 - 6 b x + 2)

Valeur numérique est le nombre obtenu en remplaçant les lettres (variables) par des nombres.

Calculez la valeur absolue numérique de :

P (x) = x3 - x2 - 7 x

   Pour x = 3

2 a + 3 b - x pour a = -2 b = 4 x = 3

P (3) = 33 - 32 - 7.3

         = 27 - 9 - 21 = -23

2(-2) + 3 (4) -3 = - 4 + 12 -3

                        = -7 + 12 = +5

Identités remarquables

Les plus usuelles sont :

Le carré d'une somme;

Le carré d'une différence;

Le cube d'une somme;

Le cube d'une différence.

Le carré d'une somme (a+b)2

(a+b)2 = (a+b) (a+b)

           = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2 ab + b2

(2+x)2 = (2+x) (2+x)

           4 + 2 x + 2 x + x2

           4 + 4 x + x2

(y + 2x)2 = y2 + 4 x y + 4 x2

Au contraire si on a : (a + b + c)2

 (a + b + c) (a + b + c) = a2 + b + c2 + 2 a b + 2 b c + a c.

Comment l'effectuer (x + t + 2)2 

x2 + t2 + 4 + 2 t x + 4 t + 4 x.

Effectuez (2 a + 2 b)2

4 a2 + 8 a b + 4 b2