Rappel
Résoudre dans IR, l’équation suivante :
\(6^{2x}+\frac{1}{6^x} – 2 = 0\)
Rappel
Posons : t = 2x t² - 2t +1 = 0
t² + 1/t – 2 = 0 ∆ = 4 – 4
= 0
t1 = t2 = 2/2 = 1
\(log_2 1 = log_2 2x ==˃ x = 0\)
Motivation
Que représente cette expression log 3x+5 < 2
en math ?
Motivation
Log 3x+5 < 2 est une inéquation logarithmique.
De quoi s’agit-il ?
Il s’agit des inéquations logarithmiques.
Annonce du sujet
Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?
Annonce du sujet
Aujourd’hui nous allons étudier les inéquations logarithmiques.
Comment faut-il faire pour résoudre les inéquations logarithmiques ?
Inéquation logarithmiques
Pour résoudre une inéquation logarithmique, on procède de la manière suivante :
-Poser les conditions préalables d’existences des solutions.
- Résoudre l’inéquation en tenant compte de la base a.
* Si a ˃ 1, la fonction loga est croissante ∀x,y ∈IR+ \(, log_? ? ≤ log_? ? <==˃ (x ≤ y)\)
* Si 0 < a < 1, la fonction loga est décroissant
\(∀x,y ∈IR^+, log_a x ≤ log_a y <==˃ (x ≥ y).\)
Exemple : résoudre dans IR, l’inéquation suivante :
\(log_2 x ˃ 3.\)
a ˃ 0 : x ˃ 0
S1 = ] 0, +∞ [
\(log_2 x >log_2 2^3 ==˃ x ˃ 8\)
S2 =] 8, +∞ [
\(S = S1∩ S2 =] 0, +∞ [U] 8, +∞ [\)
Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :
\(log_{1/2} (x-3) + log_{1/2} (x-5) ≤ log_{1/2}3\)
x-3 ˃ 0 x-5 ˃ 0
x ˃ 3 x ˃ 5
S1 =] 3, +∞ [ ∩ S2 =] 5, +∞ [ =] 5, +∞ [
\(log_{1/2} (x-3)(x-5) ≤ log_{1/2}3\)
(x-3)(x-5) ≥ 3
X²-5x-3x+15-3 ≤ 0
X²-8x+12 = 0
∆ = 64-4(7)12
= 64 – 48
= 16
\(= ± \sqrt[]{16}\)
= ±4
S2 = ] -∞, 2] U [6, +∞[
S = S1 ∩ S2 = ] 5, +∞[ ∩ ]-∞, 2[ U ]6, +∞[
= ] 6, +∞[
Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :
\(log_{1/2}x ≤ log_{1/4} (3x-2)\)
\(log_{1/2}x ≤ log_{1/4} (3x-2)\)
X ˃ 0
S1 =] 0, +∞ [
3x – 2 ˃ 0
X ˃ 2/3
S2 =] 2/3, +∞ [
S = S1∩ S2 = ] 0, +∞ [ ∩ ] 2/3, +∞ [ = ] 2/3, +∞ [
\(log_{1/2}x ≤ log_({\frac{1}{2}^2}) (3x-2)\)
\(log_{1/2} x ≤1/2 log_{1/2} (3x-2)\)
\(2log_{1/2}x ≤ log_{1/2} 3x-2\)
\(log_{1/2} x^2≤ log_{1/2} 3x-2\)
X²- 3x + 2 ≥ 0
