Rappel
Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :
\(log_{1/2} x< log_{1/4} (3x-2)\)
Rappel
S =] 0, +∞ [
S =] 2/3, +∞ [
S0 = ] 0, +∞ [ U ] 2/3, +∞ [ = ] 2/3, +∞ [
\(log_{1/2}x<log_(\frac{1}{2}) (3x-2)\\ 2log_{1/2}x<log_{1/2} (3x-2)\\ X²-3x+2 < 0 \)
∆ = ± 1
S =] 1, 2 [
S1 = ] 2/3, +∞ [ ∩ ] 1, 2 [
Motivation
Que représente (1/2) x²-2x-3 ≤ 1 ?
Motivation
\((\frac{1}{2})^{x^2-2x-3} ≤1\) représente une inéquation exponentielle.
Quelle est la base dans cette inéquation ?
La base est ½.
Annonce du sujet
Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?
Annonce du sujet
Aujourd’hui nous allons étudier les inéquations exponentielles.
Quelle faut-il retenir pour résoudre une inéquation exponentielle ?
Inéquations exponentielles
Pour résoudre une inéquation exponentielle, on tiendra compte de la base a.
\(* si a ˃ 1, ∀x,y∈IR. x ≤y<=> a^x ≤ a^y \\ * si a < x < 1, ∀x,y ∈IR x ≤y<=>a^x≥ a^y \)
Exemple : Résoudre dans IR, l’inéquation exponentielle suivante :
\((1⁄2)^{x^2+2x-3}≤1 \\ (1⁄2)^{x^2-2x-3} ≤(1⁄2)°\\ X²-2x-3 ≥ 0\\ ∆ = 4- (4).1. (-3)\\ = 4+12\\ = 16\\ \sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{16}\\ = ±4 \)
S = ] -∞, -3] U [ 1, +∞ [
Résoudre dans IR, l’inéquation suivante : \(\sqrt[]{x} ?\\ 3 ≥ 243 \)
c.p :
x ≥ 0
S =] 0, +∞ [
\(3^\sqrt[]{x}=3^5 \\ (\sqrt[]{x}) ² ≥ (5)²\\ X ≥ 25\\ S = [25, +∞ [\\ S = S1∩S2 =] 0, + ∞ [U [25, +∞ [\\ = [25, +∞ [ \)
Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :
\(2^{x^2-2x}≤ (\frac{1}{2})^{2x-2}\)
\(2^{x^2-2x}≤2^{-1(2x-2)} \\ 2^{x^2-2x}≤2^{-2x+2} \\ X²-2x ≤ -2x+2\\ X²-2x+2x-2 ≤ 0 \)
X²-2 ≤ 0
X² ≤ 2
\(x≤ ±\sqrt[]{2}\)
\(S = [-\sqrt[]{2},\sqrt[]{2} ]\)
