Construction de l'ensemble C des nombres complexes (suite)

   Synthèse.

1. Restituer le procédé de résolution d’une équation du second degré.
2. Restituer la définition d’un nombre complexe.
3. Calculer les puissances de i.
4. Calculer la somme, la différence, le produit et le quotient des nombres complexes.
5. Restituer :
   1. La définition de l’opposé, du conjugué et de l’inverse d’un nombre complexe ;
   2. La définition et la notation du module d’un nombre complexe z.

1. Définition :

On appelle nombre complexe z, tout couple (a, b) des nombres réels.

Tout nombre complexe s’écrit de façon unique z=a + bi, où a est appelé « partie réelle de z » et est notée R(z), b « partie imaginaire de z » et est notée I(z) et i l’unité imaginaire.

On écrit : z= a+bi = R(z)+I(z)i

z=a+bi est donc la forme cartésienne ou algébrique de z.

Remarques

• Un nombre complexe z est dit réel si I(z)=0. 

Exemples : z=2            z=-143           

• Un nombre complexe z est dit imaginaire pur si R(z)=0.

1. Puissances de i.

• i²=-1
• i³=i2.i=-i
• i⁴=i².i²=1
• i⁵=i⁴.i=(-1)(-1)=1
• i⁶=i⁵.i=i . i=i²=-1
• i⁷=i⁶.i=-i
• i⁸=i⁷.i=1
• i⁹=i⁸.i=i

On constate que l’ensemble I des puissances de i est constitué de 4 éléments :I={1, i, -1, -i}

La règle suivante permet de trouver rapidement une puissance n^e de i.

D’où : iⁿ=i^4k+r (r est le reste de la division de n par 4).

Exemples

• i⁵⁰=i^4.12+2+2=i²=-1
• i²⁰⁰³=i^4.500+3=i³=-1
• i³⁹⁴⁷⁶=i^.4.9869+0=i⁰=1
• i¹²¹=i^4.30+1=i¹=i

4. Deux nombres complexes peuvent être additionnés, soustraits, multipliés ou divisés.

Le résultat étant dans tous les cas un nouveau complexe.

Par exemple :  pour les nombres complexes z₁=a₁+ib₁  et z₂=a₂+ib₂ ;

1. Addition

z₁+z₂=(a₁+ib₁)+ (a₂+ib₂)

                =(a₁+a₂) + (b₁+b₂)i

1. Soustraction

z₁-z₂=(a₁+ib₁)-(a₂+ib₂)

                =(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i

1. Multiplication

z₁ . z₂=(a₁ + ib₁) . (a₂+ib₂)

                                             =a₁ . a₂ + (a₁ . b₂+ a₂ . b₁) i-b₁. b₂

(a + ib)²=(a + ib)²(a + ib)²

                    =(a²-b²)+2abi