Formules de multiplication par 2.

a. Rappel

On donne sin (a+b)=$\frac{21}{29}$    et cos (a+b)<0, sin a=$\frac{4}{5}$     et cos a<0. Calculez sin b et cos b ?

a. Rappel

Cos²(a+b)+Sin²(a+b)=1.

Cos²(a+b)=1-sin²(a+b) et cos²a + sin²a=1

                 =1-$(\frac{21}{24})^2$                   cos²a=1-sin²a

                 =1-$\frac{441}{841}$                             = 1-$\frac{16}{25}$

cos (a+b)=$-\frac{20}{29}$                         cos a= $-\frac{3}{5}$

Sin (a+b)= sin a.consb+sinb cosa

cos(a+b)=cosa.cosb-sina sinb

Sinb=$\frac{17}{145}$  et cosb =$\frac{144}{145}$

b. Motivation

b. Motivation

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier les formules de multiplication des arcs par 2.

Que faut-il faire pour établir des formules de duplication ?

FORMULES DE MULTIPLICATION DES ARCS PAR 2.

Des formules sont aussi appelées formules de duplication des arcs.

Pour établir les formules de duplication, il suffit de remplacer dans les formules d'addition.

Sin (a+b); cos (a+b), tg (a+b), cotg(a+b) par a.

Ainsi:

Sin 2a=sin (a+a)=sina.cosa+cosa.sina=2sina cosa.

Cos2a=cos (a+a)=cosa.cosa-sina.sina=cos²a-sin²a.

tg2a=tg(a+b)=$\frac{tga+tga}{1-tga.tga}=\frac{2tga}{1-tg^2a}$

cotg2a=cot(a+b)=$\frac{cotga.cota-1}{cotga+cotga}=\frac{cotg^2a-1}{2cotga}$

Alors cos²a-sin²a

par la formule fondamentale

cos²a+sin²a=1

cos²a=1-sin²a

cos2a=1-sin²a-sin²a

cos2a=1-2sin²a→sin²a=$\frac{1-cos2a}{2}$

cos2a=cos²a-(1-cos²a)

cos2a=2cos²a-1

cos2a+=2cos²a

cos²a=$\frac{cos2a+1}{2}=\frac{1+cos2a}{2}$

$tg^2a=\frac{1-cos2a}{1+cos2a}$

$cot^2a=\frac{1+cos2a}{1-cos2a}$

Que donne : a) cos2a

Cos2a=cos²a-sin²a

b) cos²a

cos²a=$\frac{1+cos2a}{2}$

c) Sin²a

Sin²a=$\frac{1-cos2a}{2}$

Que donnent les formules suivantes:

a. tg²a

tg²a=$\frac{1-cos2a}{1+cos2a}$

b. cotg²a

cotg²a=$\frac{2tga}{1-tg^2a}$