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Formules de multiplication par 2.
Domaine Science Sous domaine Mathématiques
Section Scientifique Option Math-Physique
Discipline Mathématique Classe 6ème
Matériel didactique Tableau noir Auteur SCHOOLAP.COM
Objectif opérationnel A la fin de la leçon, l'élève sera capable de déterminer les formules à l'aide des formules d'addition d'arcs en 5 minutes.
Réference Trigonométrie 5e sc, cours et exercices, J.M Makiadi, pp. 18-20.
Activité initiale

a. Rappel

On donne sin (a+b)=2129    et cos (a+b)<0, sin a=45     et cos a<0. Calculez sin b et cos b ?

a. Rappel

Cos2(a+b)+Sin2(a+b)=1.

Cos2(a+b)=1-sin2(a+b) et cos2a + sin2a=1

                 =1-(2124)2                   cos2a=1-sin2a

                 =1-441841                             = 1-1625

cos (a+b)=2029                         cos a= 35

Sin (a+b)= sin a.consb+sinb cosa

cos(a+b)=cosa.cosb-sina sinb

Sinb=17145  et cosb =144145

b. Motivation

b. Motivation

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier les formules de multiplication des arcs par 2.

Activité principale

Que faut-il faire pour établir des formules de duplication ?

FORMULES DE MULTIPLICATION DES ARCS PAR 2.

Des formules sont aussi appelées formules de duplication des arcs.

Pour établir les formules de duplication, il suffit de remplacer dans les formules d'addition.

Sin (a+b); cos (a+b), tg (a+b), cotg(a+b) par a.

Ainsi:

Sin 2a=sin (a+a)=sina.cosa+cosa.sina=2sina cosa.

Cos2a=cos (a+a)=cosa.cosa-sina.sina=cos2a-sin2a.

tg2a=tg(a+b)=tga+tga1tga.tga=2tga1tg2a

cotg2a=cot(a+b)=cotga.cota1cotga+cotga=cotg2a12cotga

Alors cos2a-sin2a

par la formule fondamentale

cos2a+sin2a=1

cos2a=1-sin2a

cos2a=1-sin2a-sin2a

cos2a=1-2sin2a→sin2a=1cos2a2

cos2a=cos2a-(1-cos2a)

cos2a=2cos2a-1

cos2a+=2cos2a

cos2a=cos2a+12=1+cos2a2

tg2a=1cos2a1+cos2a

cot2a=1+cos2a1cos2a

Synthèse

Que donne : a) cos2a

Cos2a=cos2a-sin2a

b) cos2a

cos2a=1+cos2a2

c) Sin2a

Sin2a=1cos2a2

Que donnent les formules suivantes:

a. tg2a

tg2a=1cos2a1+cos2a

b. cotg2a

cotg2a=2tga1tg2a