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Propriété de la dérivée première : croissante et decroissante.
Domaine Science Sous domaine Mathématiques
Section Technique Option Commerciale & Gestion
Discipline Mathématique Classe 6ème
Matériel didactique Exemples Auteur SCHOOLAP.COM
Objectif opérationnel A l'issue de la leçon, l'élève sera capable de déterminer la croissance et la décroissance de la dérivée première à l'aide de l'étude de signe en 5 minutes.
Réference MM G2, pp.165-168.
Activité initiale

a. Rappel

En quel point de la tangente à la courbe d'équation y=x3-3x+1 est-elle perpendiculaire à l'axe du y?

a. Rappel

y'=3x2-3             si xo=1

0=3x02-3               yo=13-3.1+1=-1

xo2=1.

\(x_o=±\sqrt[]{1}=±1.\)                                 Si xo=1=(-1)3-3(-1)+1=3.

b. Motivation

Soit f(x)=2x+3≥0 et g(x)=\(\sqrt[]{3}-2x≤0\)

Comparer ces fonctions ?

b. Motivation

La fonction f(x)=2x+3≥0 est croissante et g(x)= \(\sqrt[]{3}-2x≤0\)est décroissante.

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier la propriété de la dérivée première : croissance et décroissante.

Activité principale

Comment peut-on déterminer la croissance et la décroissance d'une fonction ?

1. Croissance et décroissance

Pour déterminer si une fonction est croissante ou décroissante, on étudie les zéros et les signes de la dérivée de f'(x) ou y'.

* Si y' ≥0, la fonction est croissante

* Si y' ≤0, la fonction est décroissante

NB: Dans le tableau des signes de f' , on utilise la flèche montante ↗ pour une fonction croissante et la flèche descente ↘ pour une fonction décroissante.

Exemple: Déterminer les intervalles sur lesquelles la fonction suivante est croissante ou décroissante.

f(x)=x2-3x+2.

f'(x)=2x-3→f'(x)=0 →2x-3=0→x=3/2

\(f(\frac{3}{2})=(\frac{3}{2})^2-3(\frac{3}{2})+2=-1/4\)

f est croissante dans [3/2, +Ꝏ[

f est décroissante dans ]-Ꝏ,\(\frac{3}{2}\) ]

 

Synthèse

Déterminer l'intervalle pour lequel la fonction est croissante et décroissante y=-(x-3)2(x+3).

y'=-[(x-3)2]'(x+3)+(x+3)'(x-3)2=-2(x-3).(x-3)+(x-3)2=(x-3)(-2x+3+x-3)=(x-3)(-x)=-3(x-3)(x+1).

y'=0 → x-3=0,  x+1=0

             x=3      x=-1

La fonction est croissante dans [-1, 3]

La fonction est décroissante dans ]- Ꝏ, -1] U [3, +Ꝏ.

Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est croissante ou décroissante.

a.

Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est croissante ou décroissante

a.

b. \(y=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+5\)