Intégrales définies

Rappel

Qu'avons nous étudier la fois passée?

Rappel

La fois passée, nous avons étudier en géométrie les méthodes des génératrices.

Motivation

Soit une intégrale suivante \(\int_a^b f(x) \, \mathrm dx\) que représente a et b ?

Motivation

a et b représente les bornes de cette intégrale.

Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier les intégrales définies.

Analyse

Que signifie calculer l'intégrale indéfinie ?

Analyse

INTEGRALES DEFINIES

Calculer l'intégrale indéfinie c'est remplacer successivement x par les bornes (a≤b).

\(\int_a^b f(x) \, \mathrm dx\)=[f(x)]_a^b=F(b)-F(a).

C'est le théorème de Neurton leibriz.

Remarques: b= borne supérieure

                  a=borne inférieure.

Exemple: calculez:

b) \(\int_1^c \frac{dx}{x} \, \mathrm =[lnx]_1^e\)

=lne-ln1=1-0=1.

Propriétés : 1. \(\int_a^a f(x) \, \mathrm dx=0\)

2. \(\int_a^b f(x) \, \mathrm =-\int_b^a f(x) \, \mathrm dx\)

3. \(\int_a^b (f+g) \, \mathrm dx=\int_a^b f(x) \, \mathrm + \int_a^b g(x) \, \)

4. \(\int_a^b K f(x) \, \mathrm dx=K \int_a^b f(x) \, \mathrm dx\)

5. \(\int_a^b f(x) \, \mathrm dx=\int_a^c f(x) \, \mathrm dx+ \int_c^b f(x) \, \mathrm dx\)

a<c<b

6. Si ∀, x ∈ [a;b] et f(x) ≥ 0 alors \(\int_a^b f(x) \, \mathrm dx ≥ 0\)

7. Si ∀, x ∈ [a;b] et f(x) ≤ g(x) alors \(\int_a^b f(x) \, \mathrm dx ≤ 0 g(x) dx\)
 

Calculez a . \(\int_2^2 x^2 \, \mathrm dx\)

\(\int_2^2 x^2 \, \mathrm dx=0.\)

b. \(\int_2^4 (1-x^2) \, \mathrm dx\)

\(\int_2^4 dx \, \mathrm - \int_2^4 x^2 dx \, \mathrm = [x]_2^4-[\frac{x^3}{3}]_2^4\)

\((4-2)-[ \frac{x^3}{3}- \frac{2^3}{3} ]\)

4-2-\((\frac{64-8}{3})=\frac{6-56}{3}=-\frac{50}{3}\)

\(\int_2^4 (x^2+ \frac{1}{\sqrt[]{x}}) \, \mathrm dx\)