Domaine | Science | Sous domaine | Mathématiques |
Section | Scientifique | Option | Biologie Chimie |
Discipline | Mathématique | Classe | 6ème |
Matériel didactique | Tableau noir | Auteur | SCHOOLAP.COM |
Objectif opérationnel | A la fin de la leçon, l'élève sera capable de déterminer les formules à l'aide des formules d'addition d'arcs en 5 minutes. | ||
Réference | Trigonométrie 5e sc, cours et exercices, J.M Makiadi, pp. 18-20. | ||
Activité initiale |
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a. Rappel On donne sin (a+b)=\(\frac{21}{29}\) et cos (a+b)<0, sin a=\(\frac{4}{5}\) et cos a<0. Calculer sin b et cos b ? |
a. Rappel Cos2(a+b)+Sin2(a+b)=1. Cos2(a+b)=1-sin2(a+b) et cos2a + sin2a=1 =1-\((\frac{21}{24})^2\) cos2a=1-sin2a =1-\(\frac{441}{841}\) = 1-\(\frac{16}{25}\) cos (a+b)=\(-\frac{20}{29}\) cos a= \(-\frac{3}{5}\) Sin (a+b)= sin a.consb+sinb cosa cos(a+b)=cosa.cosb-sina sinb Sinb=\(\frac{17}{145}\) et cosb =\(\frac{144}{145}\) |
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b. Motivation |
b. Motivation |
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c. Annonce du sujet Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ? |
c. Annonce du sujet Aujourd'hui nous allons étudier les formules de multiplication des arcs par 2. |
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Activité principale |
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Que faut-il faire pour établir des formules de duplication ? |
FORMULES DE MULTIPLICATION DES ARCS PAR 2. Des formules sont aussi appelées formules de duplication des arcs. Pour établir les formules de duplication, il suffit de remplacer dans les formules d'addition. Sin (a+b); cos (a+b), tg (a+b), cotg(a+b) par a. Ainsi: Sin 2a=sin (a+a)=sina.cosa+cosa.sina=2sina cosa. Cos2a=cos (a+a)=cosa.cosa-sina.sina=cos2a-sin2a. tg2a=tg(a+b)=\(\frac{tga+tga}{1-tga.tga}=\frac{2tga}{1-tg^2a}\) cotg2a=cot(a+b)=\(\frac{cotga.cota-1}{cotga+cotga}=\frac{cotg^2a-1}{2cotga}\) Alors cos2a-sin2a par la formule fondamentale cos2a+sin2a=1 cos2a=1-sin2a cos2a=1-sin2a-sin2a cos2a=1-2sin2a→sin2a=\(\frac{1-cos2a}{2}\) cos2a=cos2a-(1-cos2a) cos2a=2cos2a-1 cos2a+=2cos2a cos2a=\(\frac{cos2a+1}{2}=\frac{1+cos2a}{2}\) \(tg^2a=\frac{1-cos2a}{1+cos2a}\) \(cot^2a=\frac{1+cos2a}{1-cos2a}\) |
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Synthèse |
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Que donne : a) cos2a |
Cos2a=cos2a-sin2a |
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b) cos2a |
cos2a=\(\frac{1+cos2a}{2}\) |
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c) Sin2a |
Sin2a=\(\frac{1-cos2a}{2}\) |
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Que donnent les formules suivantes: a. tg2a |
Que donnent les formules suivantes: tg2a=\(\frac{1-cos2a}{1+cos2a}\) |
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b. cotg2a |
cotg2a=\(\frac{2tga}{1-tg^2a}\) |