Intégrales définies

Rappel

Qu'avons nous étudier la fois passée?

Rappel

La fois passée, nous avons étudier en géométrie les méthodes des génératrices.

Motivation

Soit une intégrale suivante $\int_a^b f(x) \, \mathrm dx$ que représentent a et b ?

Motivation

a et b représentent les bornes de cette intégrale.

Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier les intégrales définies.

Analyse

Que signifie calculer l'intégrale indéfinie ?

Analyse

INTEGRALES DEFINIES

Calculer l'intégrale indéfinie c'est remplacer successivement x par les bornes (a≤b).

$\int_a^b f(x) \, \mathrm dx$=[f(x)]_a^b=F(b)-F(a).

C'est le théorème de Neurton leibriz.

Remarque: b= borne supérieure

                  a=borne inférieure.

Exemple: calculez :

b) $\int_1^c \frac{dx}{x} \, \mathrm =[lnx]_1^e$

=lne-ln1=1-0=1.

Propriétés : 1. $\int_a^a f(x) \, \mathrm dx=0$

2. $\int_a^b f(x) \, \mathrm =-\int_b^a f(x) \, \mathrm dx$

3. $\int_a^b (f+g) \, \mathrm dx=\int_a^b f(x) \, \mathrm + \int_a^b g(x) \,$

4. $\int_a^b K f(x) \, \mathrm dx=K \int_a^b f(x) \, \mathrm dx$

5. $\int_a^b f(x) \, \mathrm dx=\int_a^c f(x) \, \mathrm dx+ \int_c^b f(x) \, \mathrm dx$

a<c<b

6. Si ∀, x ∈ [a;b] et f(x) ≥ 0 alors $\int_a^b f(x) \, \mathrm dx ≥ 0$

7. Si ∀, x ∈ [a;b] et f(x) ≤ g(x) alors $\int_a^b f(x) \, \mathrm dx ≤ 0 g(x) dx$

Calculez a . $\int_2^2 x^2 \, \mathrm dx$

$\int_2^2 x^2 \, \mathrm dx=0.$

b. $\int_2^4 (1-x^2) \, \mathrm dx$

$\int_2^4 dx \, \mathrm - \int_2^4 x^2 dx \, \mathrm = [x]_2^4-[\frac{x^3}{3}]_2^4$

$(4-2)-[ \frac{x^3}{3}- \frac{2^3}{3} ]$

4-2-$(\frac{64-8}{3})=\frac{6-56}{3}=-\frac{50}{3}$

$\int_2^4 (x^2+ \frac{1}{\sqrt[]{x}}) \, \mathrm dx$