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Système d’équation du second degré
Domaine Science Sous domaine Mathématiques
Section Scientifique Option Math-Physique
Discipline Mathématique Classe 6ème
Matériel didactique La voie Auteur SCHOOLAP.COM
Objectif opérationnel Au terme de la leçon, l’élève sera capable de définir un système du second degré et de résoudre un exercice à l’aide de principe de résolution en 5 minutes.
Réference Algèbre 5eSc, cours et exercices 2ed, 61,pp 52-54
Activité initiale

a. Rappel

Résoudre dans IR, l’équation suivant :

\(\frac{2}{1+t}-\frac{5}{3t-1}≤ 0\)

a. Rappel

La résolution de l'équation suivante dans IR:

\(\frac{2(3t-1)-5(1+t)}{(1+t)(3t-1)}≤0\)     <==˃6t-2-5-5t=0

             t-7= 0

             t= 7

S=]-Ꝏ,7]

b. Motivation

Donnez deux exemples dont l’un est une équation du second degré et l’autre du 1er degré ?

b. Motivation

Y= -x²+3x-6       et      y-2x+8= 0

Que forment ces deux équations données ?

\(\left\{ \begin{array}{rcr} y= -x^2+3x-6 \\ y-2x+8=0 \\ \end{array} \right.\)

Ces équations forment un système d'équation du second degré.

\(\left\{ \begin{array}{rcr} y= -x^2+3x-6 \\ y-2x+8=0 \\ \end{array} \right.\)

c. Annoncé du sujet

Qu’allons-nous étudié aujourd’hui en math ?

c. Annoncé du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier le système d’équation du second degré.

Activité principale

Qu’appelle-t-on le système d’équation du second degré ?

Systèmes d’équations du second degré

a. Définition : on appelle système d’équation du second degré tout système dont l’une des équations au moins est du second degré.

b. Type : on distingue :

b.1. Système où une des équations est du 1erdegré et l’autre du second degré.

Comment peut-on résoudre un système d’équation si l’un est du 1erdegré ?

Règle de résolution : on tire l’une des inconnues dans l’équation du 1erdegré et on remplace dans l’équation du second degré.

Exemple : résoudre dans IR² le système d’équations suivant :

\(\left\{ \begin{array}{rcr} y= -x^2+3x-6 & (1)\\ y-2x+8=0 & (2)\\ \end{array} \right.\)

De (2) tirons   y.

(3)         (3) dans (1)

Y= 2x-8

2x-8=-x²+3x-6

X²-3x+6+2x-8= 0

X²-x-2= 0 

∆= (-1)²-4(1)(-2)

   =9

\(\sqrt[]{∆} = ± \sqrt[]{9} \)

=±3

Si x= 2                         si x= -1

   Y= 2.2-8                       y= 2(-1)-8

   Y= -4                               = -10

S= {(2,-4), (-1,-10)}

 

Comment peut-on résoudre un système d’équation où les deux équations sont du second degré ?

b.2.Système où les deux équations sont du second degré.

Règle de résolution : on élimine une des inconnues en utilisant la méthode d’addition.

Exemple : résoudre dans IR² les systèmes d’équations suivants :

        -2x²+15y²= -460           10x²+6y²= 184

         6x²+15y² = 156         -10x²-25y²= -260

                -19x²= -304                   -9y²=  -76

                     X²=                          y²=

                     X= ±                      y²= 4

                     X= ±4                           y= ±

                                                          Y= ±2

S= {(4,2), (4,-2) ; (-4,2), (-4,-2)}

Synthèse

Résoudre dans IR2, les équations système d’équations suivantes :

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x^2+y^2=40 & (1)\\ x=3y & (2)\\ \end{array} \right.\)

Y²=40/10

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x^2+y^2=40 & (1)\\ x=3y & (2)\\ \end{array} \right.\)      y² = 4

\(Y= ±\sqrt[]{4}\)

= ± 2

(2) dans (1)                      si y= 2

(3y)²+y²= 40                        x= 3.2 = 6

9y²+y²= 40                        si y= -2

10y²=40                                x= 3(-2)= -6

S= {(6,2) ,(-6,-2)}

 

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x^2-y^2=48 & (1)\\ x^2+y^2=50 & (2)\\ \end{array} \right.\)

-x²+y²= -48                     x²-y²= 48

X²+y²= 50                       x²+y²= 50

2y²= 2                                 2x²= 98

  Y²=  2/2                              x²=  98/2

   Y²= 1                                 x²= 49

   Y= ±1\(\sqrt[]{1}\)                           x= ±\(\sqrt[]{149}\)

   Y = ±1                                  = ±7

S= {(7,1),(7,-1),(-7,1),(-7,-1)}

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x^2-y^2=161 & (1)\\ x-y=7 & (2)\\ \end{array} \right.\)

Résoudre dans IR², les équations suivant :

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x^2+2y^2=43 \\ x^2-y^2=16 \\ \end{array} \right.\)

X²+2y²= 43                             -x²-2y²= -43

2x²-2y²=32                             x²-y²= 16

     3x²=75                                -3y²= 27

     X²= 75/3                                y²= -27/3

     X²= 25                                   y²= 9

     X= ±                                        y=±     

     X= ±5                                     y= ±3

  S= {(5,3),(5,-3),(-5,3),(-5,-3)}

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x-3y=1 \\ x^2-2xy+9y^2=17 \\ \end{array} \right.\)