La distance de deux points

a. Rappel

Trouvez l’écriture de l’équation 2x+y = 0, après une rotation de 60° sachant que l’origine est transportée au point A(0, 1). Les axes sont rectangulaires ?

a. Rappel

X= a’+x’cos60°-y’sin60°

Y= b+x’sin60°+y’cos60°

\(X= 0+\frac{1}{2}x’-\sqrt[]{\frac{2}{2}}y’\)

\(Y= 1+\frac{\sqrt[]{2}}{2}x’ + 1\frac{1}{2}y’\)

b. Motivation

Que représente ꝭ dans cette figure :

b. Motivation

ꝭ représente la distance d’un point M(x₁,y₂).

c. Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier la distance de deux points.

Distance de deux points

1. En coordonnées cartésiennes

a. Si l’un des points est à l’origine des axes.

Soit un point P(x₁, y₁) dans un système cartésien rectangulaire XoY.

Quelle est la forme de la distance si θ est quelconque ?

La distance est définition par la relation :

\(ꝭ= d= \sqrt[]{(x_1^2+y_1^2+2x_1 y_1 cosθ)}\)

\(si θ = \frac{π}{2}\)               \(ꝭ= \sqrt[]{(x_1^2+ y_1^2)}\)

Résolvez un exemple ?

Exemple : trouvez la distance des points suivants à l’origine

a. A(2,4)

b. B(5,6)            θ = 60°

\(a. ꝭ= d = \sqrt[]{(2²+4)}=\sqrt[]{(4+16)}=\sqrt[]{20}\)

\(b. ꝭ= d= \sqrt[]{(5²+6²+2.5.6cos60°)}\)

\(= \sqrt[]{(25+36+60°.1/2)} \)

\(= \sqrt[]{91} \)b. Si les deux points sont quelconques

Déterminez la distance de deux points quelconques ?

A étant l’origine du nouveau système, après la translation des axes, la distance des points A(x₁, y₁) et B(x₁, y₁) est définie par la relation :

\(ʆ= d = \sqrt[]{((x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2+2(x_2-x_1)(y_2-y_1 cosθ)}\)

\(si θ= \frac{π}{2}\)

Que devient la formule de distance de deux points si θ = π/2 ?

\(ʆ= d= \sqrt[]{((x_2-x_(1)²+) (y_2-y_1)²)}\)

Exemple : quelle est la distance que séparé les points

a. A(1, 2 )   et  B( 6, 0)

b. K(0, 1)    et    c(1, 2)    si    θ= 60°

\(a. ʆ= d= \sqrt[]{((6+1)^2+(0-2)²)}= \sqrt[]{29}\)

\(b. ʆ= d= \sqrt[]{((1-0)^2+(2-1)^2+2.1.1.cos60°)}\)

\(= \sqrt[]{(1+1+2+1/2)}\)

\(= \sqrt[]{3}\)

En fonction de ses cotés, quelle est la nature du triangle  ABC si

\(A(2, 2), B(-2,-2), et c(2\sqrt[]{3},-2\sqrt[]{3})\)

\((AB) ̅=\sqrt[]{((-2-2)^2+(-2-2)^2 )}\)

\(= \sqrt[]{(16+16)}\)

\(= \sqrt[]{32}\)       \(= 4\sqrt[]{2}\)

\((AC) ̅= \sqrt[]{((2√3-2)^2+(-2√3-2)²)}\)

\(= \sqrt[]{(4.3-8√3+4+4.3+8√3+4)}\)

\(= \sqrt[]{32} \)         \(=4\sqrt[]{2}\)

Le triangle équilatéral

Trouvez l’ordonnée du point k d’absurde 6 située à une distance de 10 de l’origine ?

K (6, y)

d= 10               \(d= \sqrt[]{(x_1^2+y_1^2 )}\)

                      \((10)^2= (\sqrt[]{(6²+y²)²)}\)

100 = 36+y²

100 – 36 = y²

Y²= 64

\(Y=\sqrt[]{64}\)

Y= 8

K(6 ,8).