Changement de base

a. Rappel

\(log \frac{256}{4}\)

a. Rappel

\(log \frac{256}{4}=log_4 256-log_4 4=4-1=3\)

5log₅ 625

5log₅625=5log₅ 5⁴  = 5⁴  = 625

b. Motivation

Que donne log_a x  = ?

b. Motivation

log_a x=\(\frac{log_a ⁡x}{log_a ⁡a}\)

Qu’appelle –t-on ce passage ?

Le passage s’appelle le changement de base.

c. Annonce  du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

c. Annonce  du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier le changement de base.

Comment peut-on passer d’une base à une base commune ?

Changement de base

On sait que x= a^{log a x}

D’où log_b x  = log_b a

log_b x=log_a x .log_b b

Où

Que représente l’expression \(\frac{1}{log_b⁡ a} \)

L’expression \(\frac{1}{log_b⁡ a} \) est appelée module relatif du système de base par rapport au système de base b.

Exemple : log₂ 100=2    et    log₁₀ 1000 = 13

\(log_{100}⁡1000=\frac{log_1⁡ 1000}{log⁡ 1000}=3/2\)

Exercices.

Calculez :

\(a. log⁡ (17-\sqrt[]{(19)})+ log⁡(17+\sqrt[]{(19)})-3 log⁡3+log ⁡0,1\)

\(log⁡(17-\sqrt[]{19}).(17+\sqrt[]{(19)}).0,1-log⁡3^3\)

\(log=\frac{(17-\sqrt[]{(19)})(17+\sqrt[]{(19)}).0,1}{3^3}\)

\(log\frac{(17^2-19).0,1}{27}=log\frac{(289-19).0,1}{27}\)

\(log\frac{270.0,1}{27}\)

\(log\frac{27}{27}\)

log 1=0

b. log2  = 0,30103   et    log = 0,47712

Calculez : a. log₂ 10

                 b. log₂ 3

Calculez :

\(\frac{log⁡5-4 log⁡3+3 log⁡3+ log⁡2}{log⁡4- log⁡2}\)

\(log_2⁡ 10=\frac{log⁡10}{log⁡2}=\frac{1}{0,30103}=3,332103\)

\(log_2⁡ 3=\frac{log⁡3}{log⁡2}=\frac{0,47712}{0,30103}=1,584958\)

\(log\frac{5.27.2- log⁡ 3^4 }{log\frac{4}{2}}=\frac{log\frac{270}{81}}{log 2}=log\frac{270/81}{2}\)

\(log\frac{\frac{10}{3}}{2}=log\frac{10}{3}.\frac{1}{2}=log\frac{10}{6}=log10-log6\)

\(Calculer : log_5⁡ 1/5-log_5 ⁡3+log_5⁡ 15\)

\(log_5\frac{1}{5}.15-log_5 3\)             \(log_5\frac{3}{3}\)

\(log_5\frac{15}{5}-log_5 3\)               \(log_5 ⁡1 = 0\)

\(log_5 ⁡3-log_5 ⁡3\)