Inéquation exponentielle

Rappel

Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :

$log_{1/2}⁡x ˂ log_{1/4}⁡ (3x-2)$

S₁ = ] 0, +∞ [

3x-2 ˃ 0

X ˃ 2/3

 S₂ = ] 2/3, +∞ [

S₀ = ] 0, +∞ [ U ] 2/3, +∞[ = ] 2/3, +∞ [

$log_{1/2}⁡x< log⁡_{(1/2)²} ⁡(3x-2)$

$2log_{1/2}⁡x<log_{1/2}⁡ (3x-2)$

$log_{1/2}⁡x²<log_{1/2}⁡ (3x-2)$

$X²-3x+2 < 0$

$∆ = 9 – 8$

=1

$\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{1}$

$= ± 1$

S₀’ =] -1, 2 [

       S = ] 3/2, +∞ [ U ] -1, 2 [ = ] 3/2, 2 [

Motivation

Que représente (1/2)^x2+2x-3  ≤ 1 ?

Motivation

(1/2)^x2+2x-3  ≤ 1 est une inéquation.

Quelle inéquation s’agit-elle ?

Il s’agit d’une inéquation exponentielle.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier une inéquation exponentielle.

Que faut-il retenir pour résoudre une inéquation exponentielle ?

Inéquations exponentielles

Pour résoudre une inéquation exponentielle, on tiendra compte de la base a.

$* si a ˃ 1, ∀x,y∈IR, (x ≤ y) <==˃ ( a^x ≤ a^y).\\ * si 0 < a < 1, ∀x,y∈IR, (x ≤ y) <==˃ a^x≥a^y$

Exemples : Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :

$(1/2)^{x^2+2x-3} ≤ 1\\ (1/2)^{x^2+2}≤ (1/2) °$

X²+2x-3 ≥ 0

∆ = 4-4(1)(-3)

   = 4+12

   = 16

$\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{16}$

      = ±4

S =] -∞, -3] U [1, +∞ [

Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :

\(3^{\sqrt[]{x} ≥ 243\)

c.p : 0                 $3^{\sqrt[]{x}} ≥ 3^5$

x ≥ 0                      $\sqrt[]{x} ≥ 5$

S₁ :] 0, +∞ [        x ≥ 25

                           S₂ : [25, +∞ [

S = S_1∩  S₂ = [25, +∞ [

Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :

$2^{x^2-2x} ≤(1/2)^{2x-2}$

$2^{x^2-2x} ≤(1/2)^{2x-2}$

X²-2x ≤ -2x+2

$S = [-\sqrt[]{2},\sqrt[]{2}]$