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Période d’un produit de plusieurs fonctions
Domaine Science Sous domaine Mathématiques
Section Pédagogie Option Pédagogie Générale
Discipline Mathématique Classe 6ème
Matériel didactique la Voie, exemples, craie de couleur. Auteur SCHOOLAP.COM
Objectif opérationnel A la fin de la leçon, l’élève sera capable de déterminer la période du produit de plusieurs fonctions à l’aide de formule de transformation de Simpson en 5 minutes.
Réference Etude d’une fonction,3ed, pp 26-27.
Activité initiale

Rappel

Déterminez la période de :

f(x) =\(cos⁡x+\frac{cos2x}{2} + \frac{cos3x}{2}\)

Rappel

 

 

p.p.c.m. (2π , 2π , 4π /3) = 2π.

Motivation

Soit f(x) = (sin 3x ) sin|-5x|. Que relie sin (3x) au sin(5x) ?

Motivation

Sin (3x) et sin (5x) est relié par le signe de la multiplication.

De quelle période s’agit-elle ?

Elle s’agit de période d’un produit de plusieurs fonctions.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier la période d’un produit de plusieurs fonctions.

Activité principale

Comment faut-il déterminer la période du produit de plusieurs fonctions ?

Période du produit de plusieurs fonctions

a. Produit de la forme : (sinax).(sinbx) ; sina.cosb  ; cosa.cosb  ;cosa.sina

Règle :

- On transforme le produit donné en une somme ou une différence en utilisant les formules de Simpson.

- On cherche la période de la fonction somme ou différence trouvée.

Formules de transformation de Simpson

\(1. cos⁡ a. cos⁡b = \frac{1}{2}[cos⁡ (a+b)+ cos⁡ (a-b)]\\ 2. sin⁡ a. sin⁡b = \frac{1}{2} [cos⁡ (a-b)- cos⁡ (a+b)]\\ 3. sin⁡ a. cos⁡b = \frac{1}{2} [sin⁡ (a+b)+ sin⁡ (a-b) ]\\ 4. cos⁡ a. sin⁡b = \frac{1}{2} [sin⁡ (a+b)- sin⁡ (a-b)]\\ \)

\(T_1=\frac{2π}{|4|} = \frac{2π}{4} = \frac{π}{2}\)

Déterminez la période de cette fonction mis au tableau ?

Exemple : Déterminer la période de la fonction suivante :

Y= 2sin7xsin3x .2sin7xsin3x

\(= cos⁡ (7x-3x)- cos⁡ (7x+3x)\\ = cos⁡ 4x-cos10x. \)

\(T_1=\frac{2π}{|4|} = \frac{2π}{4} = \frac{π}{2}\)

\(T_2 = \frac{2π}{|10|} = \frac{2π}{10} =\frac{π}{5}\)

p.p.c.m. (π /2, π /5) = π /2.

Synthèse

Déterminer la période chacune de fonction ci –dessous :

  1. Y = 2 sin 4x cos x

 

\(2sin⁡4x cos⁡x = 2.\frac{1}{2}[sin⁡ (4x+x)+sin⁡(4x-x) = sin⁡ 5x+ sin⁡3x\\ T_1 = \frac{2π}{|5|} = \frac{2π}{5}, T_2= \frac{2π}{3}\\ p.p.c.m. (\frac{2π}{5}, \frac{2π}{3} = \frac{2π}{3}) \)

 

b. Y = sin x cos 2x

\(y = \frac{1}{2}[sin⁡ (x+2x)+ sin⁡ (x-2x)] = \frac{1}{2} sin⁡ 3x-sinx\\ T_1= \frac{2π}{|3|} = \frac{2π}{3} , T_2 = \frac{2π}{|1|} = \frac{2π}{1} = 2π\\ p.p.c.m. (2π/3, 2π) = 2π \)

Déterminez la période de chacune de fonctions suivantes :

  1. Y = sin 2x . cos 3x
  2. Y= sin2x.sinx