Période d’un produit de plusieurs fonctions

Rappel

Déterminez la période de :

f(x) =$cos⁡x+\frac{cos2x}{2} + \frac{cos3x}{2}$

Rappel

p.p.c.m. (2π , 2π , 4π /3) = 2π.

Motivation

Soit f(x) = (sin 3x ) sin|-5x|. Que relie sin (3x) au sin(5x) ?

Motivation

Sin (3x) et sin (5x) est relié par le signe de la multiplication.

De quelle période s’agit-elle ?

Elle s’agit de période d’un produit de plusieurs fonctions.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier la période d’un produit de plusieurs fonctions.

Comment faut-il déterminer la période du produit de plusieurs fonctions ?

Période du produit de plusieurs fonctions

a. Produit de la forme : (sinax).(sinbx) ; sina.cosb  ; cosa.cosb  ;cosa.sina

Règle :

- On transforme le produit donné en une somme ou une différence en utilisant les formules de Simpson.

- On cherche la période de la fonction somme ou différence trouvée.

Formules de transformation de Simpson

$1. cos⁡ a. cos⁡b = \frac{1}{2}[cos⁡ (a+b)+ cos⁡ (a-b)]\\ 2. sin⁡ a. sin⁡b = \frac{1}{2} [cos⁡ (a-b)- cos⁡ (a+b)]\\ 3. sin⁡ a. cos⁡b = \frac{1}{2} [sin⁡ (a+b)+ sin⁡ (a-b) ]\\ 4. cos⁡ a. sin⁡b = \frac{1}{2} [sin⁡ (a+b)- sin⁡ (a-b)]\\ $

$T_1=\frac{2π}{|4|} = \frac{2π}{4} = \frac{π}{2}$

Déterminez la période de cette fonction mis au tableau ?

Exemple : Déterminer la période de la fonction suivante :

Y= 2sin7xsin3x .2sin7xsin3x

$= cos⁡ (7x-3x)- cos⁡ (7x+3x)\\ = cos⁡ 4x-cos10x.$

$T_1=\frac{2π}{|4|} = \frac{2π}{4} = \frac{π}{2}$

$T_2 = \frac{2π}{|10|} = \frac{2π}{10} =\frac{π}{5}$

p.p.c.m. (π /2, π /5) = π /2.

Déterminer la période chacune de fonction ci –dessous :

1. Y = 2 sin 4x cos x

$2sin⁡4x cos⁡x = 2.\frac{1}{2}[sin⁡ (4x+x)+sin⁡(4x-x) = sin⁡ 5x+ sin⁡3x\\ T_1 = \frac{2π}{|5|} = \frac{2π}{5}, T_2= \frac{2π}{3}\\ p.p.c.m. (\frac{2π}{5}, \frac{2π}{3} = \frac{2π}{3})$

b. Y = sin x cos 2x

$y = \frac{1}{2}[sin⁡ (x+2x)+ sin⁡ (x-2x)] = \frac{1}{2} sin⁡ 3x-sinx\\ T_1= \frac{2π}{|3|} = \frac{2π}{3} , T_2 = \frac{2π}{|1|} = \frac{2π}{1} = 2π\\ p.p.c.m. (2π/3, 2π) = 2π$

Déterminez la période de chacune de fonctions suivantes :

1. Y = sin 2x . cos 3x
2. Y= sin2x.sinx