Fonction logarithmique

Rappel

Résoudre dans IR, les équations suivantes :

\(2^x = 2\sqrt[5]{16}\)

Rappel

\(2^x=2.16 ^{\frac{1}{5}} <=>2^x=2.2^{4.\frac{1}{5}}\\ <=> 2^x = 2.2^{\frac{4}{5}}\\ <=> 2^x = 2^{1+\frac{4}{5}}\\ <=> 2^x=2^{\frac{9}{5}}\\ X = 9/5\\ S = {9/5} \)

\(\sqrt[2x]{9} = 3^{x-2} \)

\(2^{\frac{1}{2x}} = 3^{x-2} <=> 3^{2.\frac{1}{2x}}=3^{x-2}\\ <=> 3^{\frac{1}{x}}=3^{x-2}\\ <=> \frac{1}{x} = x-2\\ <=> x²-2x-1 = 0\\ ∆ = 4+4\\ = 8\\ = 2\sqrt[]{2} \)

Motivation

Déterminez la formule de la fonction exponentielle.

Motivation

Y=a^x .

Que représente  y= log_a x  ?

Y = log_a x  est une fonction logarithmique.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier les fonctions logarithmiques.

Qu’est-ce qu’une fonction logarithmique ?

Fonctions logarithmiques

a. Définition : une fonction logarithmique est la fonction inverse ou réciproque exponentielle.

Y= a^x

        On note y= log_a x

a = est la base de cette fonction a ˃ 0.

Par définition : on a

* log_a1  = 0       en  effet         a⁰  = 1

* log_aa  = 1       en effet          a¹  = a

* log_aN  = N.

Comment se présente la variation d’une fonction logarithmique si a ˃ 1 ?

b. Variations et graphiques de la fonction :

y = log_ax

* si a ˃ 1 : la fonction est croissante

Tableau de variation

 si 0 ˂ a ˂ 1 : la fonction est croissante

c. Propriété logarithmique

soient x, y et z des réels positifs telsque :

\(1. log_a⁡ (x.y.z) = log_a⁡ x +log_a⁡ y+log_a 2\\ 2. log⁡ \frac{y}{x} = log_a⁡ x-log_a⁡ y\\ 3. log_a⁡ x^4 = n log_a⁡ x \\ 4. log_a⁡ x^{1/4} = \frac{1}{n} log_a ⁡x ou log_a⁡ \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} log_a ⁡x\\ 5. colog_a ⁡x = -log_a ⁡x = log_a⁡ x^{-1} = log_a⁡ \frac{1}{x}\\ 6. log_{a^n }⁡ x^n = log_a ⁡x ;log_{a^n }⁡x = \frac{1}{n} log_a ⁡x ;\\ log_{a^n }⁡ x^n = \frac{m}{n} log_a⁡ x\\ 7. log_a⁡ x = \frac{log⁡x}{log⁡a} ; a^{log_a⁡ x} = x. \)