Equation logarithmique

Rappel

Calculez : $\frac{log⁡5-4 log⁡3+3 log⁡3+log⁡2}{log⁡4-log⁡2}$

Rappel

$\frac{log⁡5-log⁡3^4+log⁡3^3+log⁡2}{log⁡ \frac{4}{2}}=\frac{log⁡5+log⁡27+log⁡2-log⁡3^4}{log⁡4/2}\\ log\frac{\frac{5.27.2}{81}}{2}=\frac{\frac{270}{81}}{2}=log\frac{\frac{10}{3}}{2}=log\frac{10}{3}.\frac{1}{2}=log\frac{10}{6}$

Motivation

Quel est l’exposant de ce logarithme ?

$log_2⁡ (x+1) ?$

Motivation

L’exposant de ce logarithme est x+1.

Que représente x+1 en algèbre ?

X+1 représente l’équation.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier les équations logarithmiques ?

Qu’est-ce qu’une équation logarithmique ?

Equations logarithmiques

a. Définition : une équation logarithmique est toute équation où l’inconnue intervient dans l’expression du logarithme.

Comment peut-on résoudre une équation logarithmique ?

b. Résolution : pour résoudre une équation logarithmique, on procède comme suit :

- Poser les conditions d’existence des solutions de l’équation.

- Ramener éventuellement les logarithmes à la même base.

- Utiliser les propriétés des logarithmes pour obtenir log_a4  = log_av  <=>  u = v.

- retenir les valeurs de l’inconnue qui vérifie les conditions posées ci-dessous 

Exemple : résoudre dans IR, l’équation logarithmique suivante : log(x+1) =log₃2

Cp : x+1 ˃ 0

 <=>  x >  -1

] -1, +∞ [

log₃(x+1)=log₃2  <=>  x+1 =2

                                        <=>  x = 2-1

                                                   X = 1

                                         S = {1}

Résoudre dans IR, les équations ci-dessous :

$a. log_2⁡ (x+14)+ log_2⁡ (x+2) = 6$

Condition : x+14 ˃ 0

                     x˃ -14

] -14, +∞ [

] -2, +∞ [

$log_2⁡ (x+14)(x+2)=6 log_2 ⁡2$

$X²+2x+14x+28 = 64$

$X²+16x+28-64 = 0$

$=16²-4(1)(-36)$

$= 256+144$

= 400

$\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{400}$

= ±20

S = {2}    seul le réel 2 vérifie la condition posée.

Résoudre dans IR, l’équation suivante :

$log_3⁡x= 1/2 + log_9 ⁡(4x+15)$

X ˃ 0                           et      4x+15 ˃ 0

                                               X ˃ -15/4

]0, +∞[

] -15/4, +∞[

$log_3 ⁡x = ½ log_3⁡ 3+log_3 2 (4x+15)\\ log_3 x=1/2 log_3 ⁡3+1/2 log_3 ⁡4x+15\\ 2log_3⁡ x = log_3⁡ 3 (4x+15)\\ log_3⁡ x^2 = log_3⁡ 12x+45\\ X²-12x-45 = 0\\ ∆ = 144-4(1)(-45)\\ = 144+180\\ \sqrt[]{∆} = ± \sqrt[]{324}\\ = ±18$

S = {15}