Equation exponentielle

Rappel

Résoudre dans l’équation suivante :

$log⁡ (x+1)+colog3=log⁡(2x-3)+log7$

Rappel

X ˃ -1

] -1, +∞ [

 X˃ 3/2

] 3/2, +∞ [

         ] -1, +∞ [∩] 3/2, +∞ [=] 3/2, +∞ [

$log⁡ (x+1-log3)=log7⁡ (2x-3) \\ log⁡ \frac{(x+1)}{3} = log⁡ 14x-21\\ X+1 = 42x-64\\ X = 64/42 = {64/21}$

Motivation

Que représente 2x dans l’expression ci-dessous

2^2x  = 2⁴  ?

Motivation

2x représente l’exposant.

De quoi s’agit-il ?

Il s’agit des équations exponentielles.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Nous allons étudier aujourd'hui l'Equation exponentielle

Equations exponentielles

a. Définition : une équation exponentielle est une équation dans laquelle l’inconnue intervient en exposant.

b. Résolution : la résolution d’une équation exponentielle se résume dans l’un de cas suivants :

$1. a^{u(x)} = a^{v(x)}$

U(x) = v(x).

Exemple :

$(\frac{5}{2})^{x^2-3x} = (\frac{3}{5})^{2x-2}\\ (\frac{5}{3})^{x^2-3x} = (\frac{5}{3})^{-2x+2}\\ X²-3x+28-2 = 0\\ X²-3x-2 = 0\\ ∆ = ±\sqrt[]{9} = ±3$

S = {-1, 2}

$2. a^{u(x)} = b => log_a⁡ a^{u(x)} = log_a ⁡b\\ u(x) log_a⁡ a = log_a⁡ b$

Exemple :

$2^x = 5 => log_2⁡ 2x = log_2 ⁡5\\ X² = log_2 ⁡5\\ S= {log_2⁡ 5}$

3. Autres types d’équations

Ce sont des équations qui après transformation se ramènent à un de cas précèdent :

Exemple :

$5^{x+1}-2.5^{-x} = 7\\ 5^x.5-2.5^{-x} = 7 \\ posons t = 5^x\\ 5^x.5-2.\frac{1}{5^t} = 7\\ 5t+2/t = 7\\ 5t²-7t+2 = 0\\ ∆ = 49 – 4(5).(2)\\ = 49-40\\ = 9\\ \sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{9} = ± 3$

Si t = 1

$5^x = 1 => log_5⁡ 5^x = log_5 ⁡1 ; t = 2/5\\ X = 0\\ log_5⁡ 5^x = log_5⁡ 2/5\\ X = log_5⁡ \frac{2}{5}\\ X = log_5⁡ 2 - log_5⁡ 5$

Résoudre dans IR, les équations suivantes :

$25^x = 125\\ 3^{x^2-6x} = \frac{1}{3^8}$