Exercices sur la translation et la rotation d’axes

Rappel

Quelles sont les formules essentielles de :

1. Translation ?
2. Rotation ?

Rappel

$x=x'+a et y=y'+b M.S \\ x'=x-a et y'=y-b A.S$

$x=\frac{x' sin⁡(θ-β)+bsin(θ-β')}{sinθ} \\ y= \frac{x' sinβ+y'sinβ'}{sinθ}$

Quelle est la formule si les axes sont rectangulaires dans la rotation ?

$x=x' cosβ-y'sinβ \\ y=x' sinβ+ycosβ$

Soit un point dont les coordonnées sont (4,-2) transporte l’origine en 0’ (1,-3).

Quelles seront les nouvelles coordonnées du point si les axes se déplacent parallèlement à eux-mêmes.

Exercices sur la translation et la rotation

A. (4,-2)  et 0’(1,-3

      X = x’+a   et y = y’+b

         = 1+4     et y = -3+2

         = 5

                  A (5,-1)

Trouvez les nouvelles équations des courbes, ci-dessous quand les axes sont transporté parallèlement à eux-mêmes à la nouvelle origine indiquée.

Y²-2y-3x-5 = 0 et 0’ (2,1)

$x=x'+a \\ y=y+b \\ (x-2)^2-2(y'+1)-3(x'-2)-5=0 \\ x^2-2x' y-y-2y'+2-3x'-6-5=0\\ x'2-2x' y+13=0$                     $\left\{ \begin{array}{rcr} x & = &-2+a \\ y & = & 1+b \\ \end{array} \right.$

3. on donne le point (k = (-3,1))

Trouvez ses coordonnées par rapport au N.S. si on sait que les axes ont subits une rotation de 180 ?

$K (-3,1)\\ β=180° \\ x=-3cos180°-sin180°\\ y=-3sin180°+cos180°\\ x=-3(-1)+0 \\ x=3\\ y= -3.0+(-1)\\ = -1\\ K (3, -1)$

Trouvez les anciennes coordonnées des points A(1,3) sachant que les axes ont subits une rotation de 30° les axes forment un angle de 60° ?

$A(1,3)\\ β'=θ+β\\ =60° \\ β=30° \\ β'=60+30 \\ =90°$                 $β=90°-θ\\ β=30°$

$x=\frac{sin⁡(60°-30°)+3sin⁡(60-20°)}{sin60°}$

On donne le point M(3,1).

Trouvez ses coordonnées par rapport à l’A.S si la rotation était de 90 ?

$x=x' cosβ-y' sinβ \\ y=x' sinβ+y'cosβ \\ $

$=3cos90-sin90°\\ =3.0-1\\ =-1$   et     $y=3sin90°+cos90°\\ =3.1+0\\ =3$

M(-1,3)