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Limite des fonctions trigonométriques
Domaine Science Sous domaine Mathématiques
Section Scientifique Option Biologie Chimie
Discipline Mathématique Classe 6ème
Matériel didactique Exemples Auteur SCHOOLAP.COM
Objectif opérationnel A l’issue de la leçon, l’élève sera capable de déterminer les limites des fonctions trigonométriques et de résoudre un exercice à l’aide des formules en 5 minutes
Réference MM6.2, pp.83 -85
Activité initiale

Rappel

Calculez lim2(3x2).(x245)

Rappel

lim2322.2245=30.445=.0F.Ilim23x2125x10=lim23.22125.210=00F.I

Motivation

Quelles sont les différentes fonctions formées par l’axe des x et des y ?

Motivation

Les différentes fonctions formées par les axes x et y sont : sinus, cosinus, tangentes, cotangente, sécante et cosécante,

Soit à calculer limπ/2Cos3xCosx,

De quelle limite s’agit-il ?

Il s’agit de la limite des fonctions trigonométriques

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Nous allons étudier aujourd'hui la Limite des fonctions trigonométriques 

Activité principale

Que donne la limxasinx?

Limites des fonctions trigonométriques

Soit un angle évoluant en radian

 

Démontrez que limatg(x)  = tga ?

1. lim_a sinx = sina\\ 2. lim_a cosx = cosa\\ 3. lim_a tgx = tga si. a .est .différent de \frac{π}{2} + K? ; K ∈ π\\ 4. lim_a cotx = cotga si. a .est .différent K? ; K ∈ π\\ 5. lim_a secx = seca si .a .est .différent \frac{π}{2} K? ; K ∈ π\\ 6. lim_a cosecx = coseca si. a .est. différent K? ; K ∈ π

Que donne  lim_{x →a} \frac{x}{sinx} ?

Les limites particulières

1. lim_0 \frac{x}{sinx} = 1\\ 2. lim_0 \frac{x}{tanx} = 1

Que donne lim_0 \frac{q (x)}{sin⁡ p(x)}

3. lim_0 \frac{sin⁡p(x)}{q (x)} = 1\\ 4. lim_0 \frac{q (x)}{sin⁡ p(x)} = \frac{p}{q}\\ 5. lim_0 \frac{tgx}{x} = 1\\ 6. lim_0 \frac{sin⁡p(x)}{sin⁡q(x)} = \frac{p}{q}\\ 7. lim_0 \frac{tan⁡ p(x)}{q (x)} = \frac{p}{q}

Synthèse

Calculez  a. lim_{π/6} (sinx + cosx) \\ b. lim_{π/3} (cox+6 sin⁡ 6x)\\ c. lim_0 \frac{sin⁡3x}{sin⁡2x}\\ d. lim_{π/6} \frac{sin⁡x}{cos⁡2x}

lim_{π/6} (sin \frac{π}{6} + cos\frac{π}{6} ) = lim_{π/6} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2} = \frac{1+\sqrt[]{3}}{2}\\ lim_{π/3} (cos \frac{π}{3} + 6.sin 6.\frac{π}{3} ) = (cos \frac{π}{3} + 6.sin 2π )\\ = (\frac{1}{2} + 6.0) = \frac{1}{2}\\ lim_0 \frac{sin⁡3x}{sin⁡2x} = \frac{3}{2}\\ lim_{π/6} \frac{sin⁡ π/6}{cos2π/6} = lim_{π/6} \frac{sin⁡π/8}{cosπ/3}

Calculez : lim_{π/6} \frac{cos^2 x}{1-sinx}