Propriété de la dérivée première : croissante et décroissante

Rappel

Calculez $lim_{x →3} \frac{x-3}{3x^2+4x-21}$  par la règle de l’hospital ?

Rappel

$lim_{x →3} \frac{3-3}{3x^2+4.3-21} = \frac{3-3}{9+12-21}= \frac{0}{0} F.I\\ lim_{x →3} \frac{(x-3)'}{(3x^2+4x-21)'} = lim_{x →} \frac{1}{x+4} = \frac{1}{10} v.v$

Motivation

Soit f(x) = 2x + 3 > 0 et g(x) = $\sqrt[]{3}$ – 2x<0 comparez ces 2 fonctions ? 

Motivation

La fonction f(x) = 2x + 3 > 0 est croissante tandis que  g(x) = $\sqrt[]{3}$ – 2x<0  est décroissante

Soit f(x) = x² +4x – 21. Calculez sa dérivée première

F(x) = 2x + 4

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons étudier la propriété de la dérivée première : la croissance et décroissance

Que faut-il faire pour déterminer la croissance et la décroissance d’une fonction ?

PROPRIETE DE LA DERIVEE PREMIERE : LA CROISSANCE ET DECROISSANCE

Pour déterminer si une fonction est croissante ou décroissante, on étudie les zéros et les signes de la dérivée première.

Quand est-ce qu’une fonction est croissante ou décroissante ?

• Si y’ > 0, la fonction est croissante
• Si y’< 0, la fonction est décroissante

Comment peut-on reconnaitre qu’une fonction est croissante ou décroissante  dans un tableau ?

N.B : Dans le tableau des signes de f’, on utilise la flèche

          montante ↑ pour une fonction croissante et la

          flèche descente ↓ pour une fonction décroissante

Exemple : Déterminez les intervalles dans lesquels la

                  fonction ci-dessous est croissante ou

                  décroissante

$f(x) = x^2 – 3x + 2$

Résolution

$f(x) = x^2 – 3x + 2 \\ f’(x) = 2x - 3\\ f’(x) = 0 ↔ 2x – 3 = 0\\ ↔ x = \frac{3}{2}\\ f ( 3/2 ) = (\frac{3}{2})^2 -3. \frac{3}{2} +2\\ = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2\\ = \frac{9-18+8}{4} = - \frac{1}{4}\\$

f est     ↗   dans $]\frac{3}{2} , \frac{-1}{4} [$

f est   ↘     dans $] - ∞ , \frac{3}{2} [$

Comment peut-on déterminer la croissance ou la décroissance d’une fonction ?

Il faut étudier les zéros et les signes de la dérivée première

Déterminez les intervalles dans lesquels les fonctions ci-dessous sont croissantes ou décroissante :

$a. y = \frac{4x-1}{2x+1}\\ b. f(x) = \frac{1x^3}{3} – x^2 – 3x + 5$

$y’ = \frac{4(2x+1)-2 (4x-1)}{(2x+1)^2 }\\ = \frac{8x+4-8x+2}{(2x+1)^2} = \frac{6}{(2x+1)^2}\\ y’ = 0 ↔ \frac{6}{(2x+1)^2} = 0\\ (2x+1)^2\\ 2x = 1 ↔ x = \frac{-1}{2}$

Déterminez l’intervalle pour lequel cette fonction est croissante ou décroissante y = - (x-3)²  (x+3)