Domaine | Science | Sous domaine | Mathématiques |
Section | Technique | Option | Commerciale & Gestion |
Discipline | Mathématique | Classe | 6ème |
Matériel didactique | Exemples | Auteur | SCHOOLAP.COM |
Objectif opérationnel | Au terme de la leçon l’élève sera capable de déterminer la croissance et la décroissance à l’aide de l’étude des signes de la dérivée première | ||
Réference | MM6.2, pp. 165-168 | ||
Activité initiale |
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Rappel Calculez \(lim_{x →3} \frac{x-3}{3x^2+4x-21}\) par la règle de l’hospital ? |
Rappel \(lim_{x →3} \frac{3-3}{3x^2+4.3-21} = \frac{3-3}{9+12-21}= \frac{0}{0} F.I\\ lim_{x →3} \frac{(x-3)'}{(3x^2+4x-21)'} = lim_{x →} \frac{1}{x+4} = \frac{1}{10} v.v\) |
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Motivation Soit f(x) = 2x + 3 > 0 et g(x) = \(\sqrt[]{3}\) – 2x<0 comparez ces 2 fonctions ? |
Motivation La fonction f(x) = 2x + 3 > 0 est croissante tandis que g(x) = \(\sqrt[]{3}\) – 2x<0 est décroissante
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Soit f(x) = x2 +4x – 21. Calculez sa dérivée première |
F(x) = 2x + 4 |
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Annonce du sujet Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ? |
Annonce du sujet Aujourd’hui, nous allons étudier la propriété de la dérivée première : la croissance et décroissance |
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Activité principale |
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Que faut-il faire pour déterminer la croissance et la décroissance d’une fonction ? |
PROPRIETE DE LA DERIVEE PREMIERE : LA CROISSANCE ET DECROISSANCE Pour déterminer si une fonction est croissante ou décroissante, on étudie les zéros et les signes de la dérivée première. |
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Quand est-ce qu’une fonction est croissante ou décroissante ? |
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Comment peut-on reconnaitre qu’une fonction est croissante ou décroissante dans un tableau ? |
N.B : Dans le tableau des signes de f’, on utilise la flèche montante ↑ pour une fonction croissante et la flèche descente ↓ pour une fonction décroissante Exemple : Déterminez les intervalles dans lesquels la fonction ci-dessous est croissante ou décroissante \(f(x) = x^2 – 3x + 2\) Résolution \(f(x) = x^2 – 3x + 2 \\ f’(x) = 2x - 3\\ f’(x) = 0 ↔ 2x – 3 = 0\\ ↔ x = \frac{3}{2}\\ f ( 3/2 ) = (\frac{3}{2})^2 -3. \frac{3}{2} +2\\ = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2\\ = \frac{9-18+8}{4} = - \frac{1}{4}\\\) f est ↗ dans \(]\frac{3}{2} , \frac{-1}{4} [\) f est ↘ dans \(] - ∞ , \frac{3}{2} [\)
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Synthèse |
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Comment peut-on déterminer la croissance ou la décroissance d’une fonction ? |
Il faut étudier les zéros et les signes de la dérivée première |
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Déterminez les intervalles dans lesquels les fonctions ci-dessous sont croissantes ou décroissantes : \(a. y = \frac{4x-1}{2x+1}\\ b. f(x) = \frac{1x^3}{3} – x^2 – 3x + 5\) |
\(y’ = \frac{4(2x+1)-2 (4x-1)}{(2x+1)^2 }\\ = \frac{8x+4-8x+2}{(2x+1)^2} = \frac{6}{(2x+1)^2}\\ y’ = 0 ↔ \frac{6}{(2x+1)^2} = 0\\ (2x+1)^2\\ 2x = 1 ↔ x = \frac{-1}{2} \) |
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Déterminez l’intervalle pour lequel cette fonction est croissante ou décroissante y = - (x-3)2 (x+3) |