Cercle orthotomique à 3 cercles

Rappel

Montrez que les cercles ci-après sont disjoints  extérieurement 

\(C1 ≡ x^2 + y^2 – 6y – 8y + 21 = 0 \\ C1 ≡ x^2 + y^2 – 4x + 12y + 24 = 0 \)

Rappel

Motivation

Quand est-ce que deux cercles sont tangents extérieurement ?

Motivation

 Deux cercles sont dits tangents  extérieurement si et seulement si d = R1 + R2

Comment s’appel le cercle orthogonal à 3 cercles ?

Le cercle orthogonal à 3 cercles s’appelle cercle orthotomique

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons étudier le cercle orthotomique à 3 cercles

Quand est-ce qu'un cercle est dit orthotomique ?

CERCLE ORTHOTOMIQUE A 3 CERCLES

a. Définition :

Un cercle  orthotomique est un cercle orthogonal à 3 autres cercles.

b. Propriété

son centre est le centre radical c’est-à-dire intersection des axes radicaux

son rayon R est :

\(R=\sqrt[]{puissanse-du-centre-par-à -l' un -de -centre-d'eux}\)

Quand est-ce que deux angles sont dits orthogonaux ?

Exemples :

\(C1 ≡ x^2 + y^2 + 4x +7 = 0\\ C2 ≡ x^2 + y^2 + 6x +5y ; C3 ≡ x^2 + y^2 +9 = 0\\ ar1 = x^2 + y^2 + 4x +7 - x^2 + y^2 + 6x +5y = 2x – 5y + 7\\ =2x + 5y + 7 = 0\\ ar2 = x^2 + y^2 + 6x +5y - x^2 - y^2 - 9 =5y + 6x – 9 = 0\\ ar3 = x^2 + y^2 + 4x +7 - x^2 - y^2 – 9 = 4x – 2 = 0\\ \)

\(\left\{ \begin{array}{rcr} 5y + 6x – 9 & = & 0 \\ 4x – 2 & = & 0 \\ \end{array} \right.\)    →       \(\left\{ \begin{array}{rcr} 5y + 6x – 9 & = & 0 \\ x & = & \frac{1}{1} \\ \end{array} \right.\)

\(5y + 6. \frac{1}{1} – 9 = 0\\ 5y – 6 = 0\\ 5y= 6\\ y = \frac{6}{5}\\ C (\frac{1}{1} ; \frac{6}{5} )\\ R = \sqrt[]{(\frac{1}{2})^2+ (\frac{6}{5})^2+9} = \frac{\sqrt[]{106}}{100}\\ \)

Le cercle: \((x-a)^2 + (y-b)^2 – R^2 = 0\\ (x-\frac{1}{2})^2 + (y -\frac{6}{5})^2 – (\frac{\sqrt[]{106}}{100})^2 = 0\\ x^2 + x + \frac{1}{4} + y^2 - \frac{12y}{5} + \frac{36}{5} - \frac{106}{100} = 0\\ 100x^2 – 100x + 25 + 100y^2 – 240y + 144 – 1065 = 0\\ 100y^2 + 100x^2 – 100x – 240y – 90000 \)

Déterminez l’équation du cercle orthogonal aux cercles ci-dessous :

\(C_1 ≡ x^2 + y^2 + 4x = 0\\ C_2 ≡ x^2 + y^2 + 4x + 6y +12 = 0\\ C_3 ≡ x^2 + y^2 + 2y = 0 \)

\(ar1 = x^2 + y^2 + 4x - x^2 - y^2 - 4x – 6y – 12 = 0\\ - 6y – 12 = 0\\ y + 2 = 0\\ ar2 = x^2 + y^2 + 4x + 6y +12 - x^2 - y^2 – 2y = 0\\ 4y + 4x + 12 = 0 \\ ar3 = x^2 + y^2 + 4y - x^2 - y^2 – 2y = 0\\ 4x – 2y = 0\\ 2x – y = 0\\ \)

\(\left\{ \begin{array}{rcr} 4y + 4x + 12 & = & 0 \\ 4.2+4x +12 & = & 0 \\ \end{array} \right.\)

4x = -20

y = 2

x = 5

Trouvez le cercle radical et le cercle orthotomique des cercles

\(C_1 ≡ x^2 + y^2 + 21x + 11 = 0\\ C_2 ≡ x^2 + y^2 – 4x + 21 = 0 \\ C_3 ≡ x^2 + y^2 – 4x + 16y - 13 = 0 \\ \)