Les dérivées

Rappel

On donne la fonction f définie par :

f(x)  \(\left\{ \begin{array}{rcr} \frac{x^3+125}{x+5} & pour & x & ≠ & -5 \\ m & \\ \end{array} \right.\)

Déterminez m pour que la fonction f soit continue au point x = - 5

Rappel

Motivation

Qu’appelle-t-on fonction notée ? 

\(f’(x) = lim_{∆x→0} \frac{f(x+ ∆x)-f(x)}{∆x} ?\)

Motivation

La fonction notée est la limite d’un accroissement de x.

Comment appelle – t – on f’(x) ?

f’(x) s’appelle la dérivée.

Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons étudier les dérivées .

Qu’est-ce que la dérivée ? 

LES DERIVEES 

1. Définition : soit f une fonction réelle de variable x,  on appelle dérivée de f, la fonction notée f’ et définie par :

Que signifie ∆x ? 

D’où ∆x = x – x₀ = accroissement de la variable

Que représente \(\frac{f(x+ ∆x)-f(x)}{∆x} ?\)

\(\frac{f(x+ ∆x)-f(x)}{∆x}=\)  C'est l'accroissement.

2. Quelques exemples 

Calculer  la dérivée de la fonction :

1. f(x) = 2x  3

\(f’(x) = lim_{∆x→0} \frac{2 (x+∆x)+3-(2x+3)}{∆x}\\ = lim_{∆x→0} \frac{2x+2∆x+3-2x-3}{∆x}\\ = lim_{∆x→0} \frac{2∆x}{∆x} = 2\\ f’(x) = 2\)

Qu’est-ce qu’une dérivée d’une fonction ?

On appelle dérivée de f, la fonction notée f’ et définie par :

\(f’(x) = lim_{∆x→0} \frac{f(x+ ∆x)-f(x)}{∆x} \)

Calculez les dérivées des fonctions suivantes :

\(a. f(x) = x^3\\ b. f(x) = 3x + 5\\ c. f(x) = 2x \\ \)

Calculez la dérivée de la fonction ci-après :

y= 2x² - 4