Calcule des dérivées

Rappel

Calculez la dérive de la fonction suivante

f(x) = 4x² ?

Rappel

\(f’(x) = lim_{∆x→0} \frac{4 (x+∆x)^2-4x^2}{∆x}\\ = lim_{∆x→0} \frac{4 (x^2+2x∆x + ∆^2 x )-4x^2}{∆x}\\ = lim_{∆x→0} \frac{4x^2+8x∆x +4∆^2 x-4x^2 }{∆x}\\ = lim_{∆x→0} \frac{∆x (8x + 4x^2+4∆x)}{∆x} = 8x\\ \)

Motivation

Que faut – il faire pour dériver une somme d’une fonction y = 3x2 + 4x ?

Motivation

Pour que dériver une somme d’une fonction, il faut dériver chacun des menames.

Comment appelle – t - on cette procédure appliquée ?

Cette procédure est appelée le calcule des dérivées. 

Annonce du suujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

Annonce du sujet

Nous allons étudier le Calcul des dérivées.

Quelle est la dérivée d'une constante ?

CALCULS DES DERIVEES

1.  Dérivée d’une constante

y = c   → y’= (c)’ = 0

Exemple : y = + 10  → y’ = (10)’ = 0

2. Dérivée d’une variable

y = cx   → y’= (cx)’ = c

Exemple : y = 3x  → y’ = (3x)’ = 3

Comment peut – on déterminer la dérivée d’une puissance ?

3. Dérivée d’une puissance

• y = xm   → y’= (xm)’ = m ym-1

Exemple : y = 4x²  → y’ = (4x² )’ = 8x

Quelle est la dérivée de la puissance si u est une fonction ?

• Si u, est une fonction :

\(y = um → y’= (um)’ = m um-1. (u)’\\ exemple : y = (3x^2 +2)^2 → y’ [(3x^2 +2)^2]’\\ = 2 (3x^2 +2) (3x^2 +2)\\ = 2 (3x^2 +2) 6x\\ = 12x (3x^2 +2) \\ = 36x^3 +24x \\ \)

Quel est la solution définitive de cette équation ? 

4. Dérivée d’une somme.

5. Dérivée d’un produit.

\(y = u.v → f’(x) = u’v + uv’\\ Exemple : y = (x^2 – 3x + 5) (2x – 1) \\ y’ = [(x^2 – 3x + 5) (2x – 1)]’ \\ = (x^2 – 3x + 5) (2x -1) + (2x-1) (x^2 – 3x + 5) \\ = (2x – 3) (2x -1) + 2 (x^2 – 3x +5)\\ = 4x^2 – 2x – 6x + 3 + 2x^2 – 6x + 10 \\ = 6x^2 – 14x + 13\)

Calculez la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

\(a) y = 3x – 2\\ b) y = 2x (x + 3)^2\\ c) y = 3x^3 – x – 3\\ \)

Calculez la dérivée de chacune des fonctions suivantes

\(a. y = 12x^{-5} + 4\\ b. y = (2x + 1)^2 (x – 3) \)