Exercice sur les ellipses

Rappel

Quelle est l’équation générale de l’ellipse ?

Rappel

\(\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2} = 1\)

Déterminez la formule de l’excentricité de latus rectum et des directrices ?

\(e = \frac{a}{c}, LR = \frac{2b^2}{a} , x = ± \frac{a^2}{c}\)

Quelles sont les formules de demi-axes ?

\(a = \sqrt[]{a^2} \\ et\\ b = \sqrt[]{b^2} \)

Déterminez l’équation de la normale au point n (x₁, y₁) de l’ellipse ?

\(y - y1 = \frac{a^2 y_1}{b^2 x_1 } (x -x_1)\)

Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons étudier ou résoudre les exercices sur les ellipses

On donne l’ellipse d’équation : x² – 2y² = 36

Trouvez son centre, ses demis – axes, ses sommets, ses foyers, son excentricité, la longueur du latus rectum et ses directions ? 

 CALCULS  SUR L’ELLIPSE 

Equation : x² – 2y² = 36

Centre centré à l’origine (0,0) et d’axe focal ox

Le demi grand axe                   Demi petit axe

Sommets

Foyers : F(c, 0) et F’(-c,0).

\(c = \sqrt[]{36-18} = \sqrt[]{12}\\ F (3\sqrt[]{2} ,0) et F’ (-3\sqrt[]{2} , 0) \)

Quel est la solution définitive de cette équation ? 

\(L’excentricé : e = \frac{c}{a} = x=\frac{\sqrt[]{2}}{6} = \frac{\sqrt[]{2}}{2}\\ \)

Les équations de directrices : \(x = ± \frac{36}{3\sqrt[]{2}} = ± \frac{12\sqrt[]{2}}{2} = ± \frac{6\sqrt[]{2}}{2} \)

\(LR = ± \frac{2b^2}{a} = \frac{(3\sqrt[]{2})^2}{6} = \frac{2.18}{6} = 6\)

Trouvez l’équation de l’ellipse de centre (4, -1) de foyer (1, -1) et passant par le point (8, 0) ?