Exercices sur l’hyperbole

Rappel

Quelle est l’équation générale de l’hyperbole ?

Rappel

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Déterminer l’équation de l’asymptote d’une hyperbole ? 

$y = ± \frac{a}{b} x$

Comment calculer la longueur de la corde focale ?

$LR = \frac{2b^2}{a}$

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons  étudier ou résoudre les exercices sur l’hyperbole.  

On donne l’hyperbole d’équation

4y² – 2x² - 8 = 0. Déterminer les coordonnées de sommets, les foyers, le latus rectum, excentricité, les équations des directrices les équations d’asymptote 

Analyse 

EXERCICES SUR L’HYPERBOLE.

$4y^2 – 2x^2 - 8 = 0\\ a^2 = 2\\ b^2 = 4\\ \frac{4y^2}{8} - \frac{2x^2}{8} = 0\\ \frac{2y^2}{2} - \frac{2x^2}{4} = 1$

1. Coordonnées des sommets

$(0, - \sqrt[]{2}) et (0,\sqrt[]{2}), (0, - 2) \\ et \\ (0,2)\\ 2. Foyers : (0,-\sqrt[]{2}) (0,\sqrt[]{6})\\ 3. e = \frac{a}{a} = \frac{\sqrt[]{6}}{\sqrt[]{2}} = \frac{\sqrt[]{2} .\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{2}} = \sqrt[]{2}\\ 4. LR = \frac{2.4}{\sqrt[]{2}} = \frac{8\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}} = 4\sqrt[]{2}$

5. Les équations de directrices

$y = ± \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3}} = ± \frac{\sqrt[]{2} .\sqrt[]{3}}{3} = ± \frac{\sqrt[]{6}}{3}$

6. Les équations d’asymptotes

$y = ± \frac{a}{b} x = \frac{\sqrt[]{2}}{2} x$

Trouver l’équation de l’hyperbole, d’axes parallèle aux axes de coordonnées à l’origine, sachant que la longueur de la corde focale perpendiculaire à l’axe est de 18 et que la distance des foyers (distance focale vaut 12) 

LR = 18                                     2c = 12

2c = 12                                     c = $\frac{12}{2} = 6$

Or LR =  $\frac{2b^2}{a}$                               c² = a² + b²

18 = $\frac{2b^2}{a}$                                36 =  a² + 9a

       18 a = 2b²                            a² + 9a – 36 = 0

            a =   $\frac{2b^2}{18}$                           ∆ = 81 + 144

$a = \frac{b^2}{9}\\ \sqrt[]{∆} = ± \sqrt[]{225} = ± 15\\ b^2 = 9a$

a = 3

b2 = 9.3             = 27

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\\ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{27} = 1$

Trouver l’équation de l’hyperbole  ayant pour centre l’origine, pour un des sommets (6,0) et pour équation une des asymptote 4x – 3y = 0

Trouver l’équation de l’hyperbole  ayant pour centre l’origine, pour un des sommets (6,0) et pour équation une des asymptote 4x – 3y = 0.