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Exercices sur l’hyperbole
Domaine Science Sous domaine Mathématiques
Section Scientifique Option Math-Physique
Discipline Mathématique Classe 6ème
Matériel didactique Exemples Auteur SCHOOLAP.COM
Objectif opérationnel A l’issue de la leçon, l’élève sera capable de résoudre un exercice sur l’hyperbole à l’aide des fonctions en 5 minutes.
Réference MM6, pp. 523 - 526
Activité initiale

Rappel

Quelle est l’équation générale de l’hyperbole ?

Rappel

\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)

Déterminer l’équation de l’asymptote d’une hyperbole ? 

\(y = ± \frac{a}{b} x\)

Comment calculer la longueur de la corde focale ?

\(LR = \frac{2b^2}{a} \)

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons  étudier ou résoudre les exercices sur l’hyperbole.  

Activité principale

On donne l’hyperbole d’équation

4y2 – 2x2 - 8 = 0. Déterminer les coordonnées de sommets, les foyers, le latus rectum, excentricité, les équations des directrices les équations d’asymptote 

Analyse 

EXERCICES SUR L’HYPERBOLE.

\(4y^2 – 2x^2 - 8 = 0\\ a^2 = 2\\ b^2 = 4\\ \frac{4y^2}{8} - \frac{2x^2}{8} = 0\\ \frac{2y^2}{2} - \frac{2x^2}{4} = 1 \)

  1. Coordonnées des sommets

\((0, - \sqrt[]{2}) et (0,\sqrt[]{2}), (0, - 2) \\ et \\ (0,2)\\ 2. Foyers : (0,-\sqrt[]{2}) (0,\sqrt[]{6})\\ 3. e = \frac{a}{a} = \frac{\sqrt[]{6}}{\sqrt[]{2}} = \frac{\sqrt[]{2} .\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{2}} = \sqrt[]{2}\\ 4. LR = \frac{2.4}{\sqrt[]{2}} = \frac{8\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}} = 4\sqrt[]{2}\)

5. Les équations de directrices

\( y = ± \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3}} = ± \frac{\sqrt[]{2} .\sqrt[]{3}}{3} = ± \frac{\sqrt[]{6}}{3} \)

6. Les équations d’asymptotes

\(y = ± \frac{a}{b} x = \frac{\sqrt[]{2}}{2} x\)

Synthèse

Trouver l’équation de l’hyperbole, d’axes parallèle aux axes de coordonnées à l’origine, sachant que la longueur de la corde focale perpendiculaire à l’axe est de 18 et que la distance des foyers (distance focale vaut 12) 

LR = 18                                     2c = 12

2c = 12                                     c = \(\frac{12}{2} = 6\)

Or LR =  \(\frac{2b^2}{a}\)                               c2 = a2 + b2

18 = \(\frac{2b^2}{a}\)                                36 =  a2 + 9a

       18 a = 2b                           a2 + 9a – 36 = 0

            a =   \(\frac{2b^2}{18}\)                           ∆ = 81 + 144

\(a = \frac{b^2}{9}\\ \sqrt[]{∆} = ± \sqrt[]{225} = ± 15\\ b^2 = 9a \)

a = 3

b2 = 9.3             = 27

\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\\ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{27} = 1 \)

Trouver l’équation de l’hyperbole  ayant pour centre l’origine, pour un des sommets (6,0) et pour équation une des asymptote 4x – 3y = 0

Trouver l’équation de l’hyperbole  ayant pour centre l’origine, pour un des sommets (6,0) et pour équation une des asymptote 4x – 3y = 0.