Dérivées des fonctions trigonométriques.

Rappel

Calculez la dérivée de la fonction suivante : $y=\frac{5}{2x^2+x-3}$

Rappel

$y'≡(5) \frac{(2x^2+x-3)'}{(2x^2+x-3)^2} =\frac{-20x-5}{(2x^2+x-3)^2}\\ $

Motivation

Soit y=sinx+tg(2x), de quelle fonction s’agit-il ?

Motivation

y=sinx+tg(x)  Est une fonction trigonométrique

Si nous calculons y'=sin x  nous voulons aborder quel type de dérivée ?

y'=sin x' est une dérivée de fonction trigonométrique

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier la dérivée des fonctions trigonométriques. 

DERIVEES DES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES

Soit  u≡(x) une fonction dérivable en x.

$1. y=sin⁡ u..... y'=u' cos⁡u \\ 2. y=cos⁡ u..... y'=-u sin⁡u\\ 3. y=tg u....... y'= \frac{u'}{cos^2 u}\\ 4. y=sec⁡ u....... y'= \frac{u' sin⁡u}{cos ^2 u}\\ 5. y=sesec ....... y'=\frac{u' cosu}{sin^2 u}\\ $

Exemples : calculez les dérivées des fonctions suivantes :

$a. y=sin⁡ 3x y'=(sin⁡3x )'=(3x)' cos⁡3x=3 cos⁡3x\\ b. y=tg(2x^2-1) y'=\frac{(2x^2-1)}{cos^2 (2x-1) }=\frac{4x}{cos^2 (2x-1)}\\ c. y=9see \frac{1}{3} x.. y'=(9 sec⁡\frac{1}{3} x)'=9(\frac{1}{3} x)'\\ \frac{sin\frac{1}{3}x}{cos^2\frac{1}{3}x}=\frac{3sin\frac{1}{3}x}{cos^2\frac{1}{3}x}$

Déterminez la dérivée de chacune des fonctions ci-dessous :

$a. y=cotg \frac{x}{2}\\ b. y=tg(2x^2-1)$

$y'=(cotg \frac{x}{2})'=\frac{(\frac{x}{2})'}{sin^2\frac{x}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{sin^2\frac{x}{2}}\\ =-\frac{1}{2}.\frac{\frac{1}{2}}{sin^2\frac{x}{2}}=-\frac{\frac{1}{2}}{sin^2\frac{x}{2}}\\ y'=(tg(2x^2-1))'=\frac{(2x^2-1)'}{cos^2 (2x^2-1)}\\ \frac{4x}{cos^2 (2x^2-1)}$

Calculez la dérivée des fonctions suivantes : $a. y=9 sec⁡ \frac{3}{1}x$

$y'=(9see \frac{1}{3} x)'=9(\frac{1}{3}x)'\\ \frac{3 sin \frac{1}{3}x}{cos^2 \frac{1}{3}x}$