Domaine de la forme f(x)=√(n&p(x)/Q(x) )

Rappel

Déterminer le Df de la fonction :

\(y= \frac{-1}{\sqrt[3]{\frac{2x-3}{x-6}}}\)

Rappel

\(2x-3=0\\ x=\frac{3}{2}\\ x-6=0\\ x=6\\ df:├]-∞,\frac{3}{2} [u] \frac{3}{2},6[u]6,+∞)┤[ \)

Motivation

Soit \(f(x)=\sqrt[n]{\frac{p(x)}{t(x)} }\) où se trouve l’indice ?

Motivation

L'indice  se trouve au numérateur.

De quelle forme de domaine s’agit -elle ?

Il s’agit de domaine de définition ayant la forme \(f(x)=\sqrt[n]{\frac{p(x)}{t(x)} }\)

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons étudier le domaine de définition de la forme.

\(f(x)=\sqrt[n]{\frac{p(x)}{t(x)} }\)

Analyse

Domaine de définition de la forme \(f(x)=\sqrt[n]{\frac{p(x)}{t(x)} }\)

• Si n est pair

\(Df : {xϵRn p(x)≥0 et ∅(x)≠0}\)

Exemple : déterminez le domaine de définition suivante \(f(x)=\sqrt[]{\frac{4-x^2}{x}}\) 

\(4-x^2≥0\\ 4-x^2=0\\ -x^2=-4\\ x^2=\frac{-4}{-1}\\ x=±\sqrt[]{4}\\ ±2 \)

\(Df_1=[-2,2]\\ g(x)≠0\\ x=0\\ Df_2=├]-∞,0[u]0,+∞┤[\\ D=Df_1∩Df_2=[-2,2]∩├]-∞┤[\\ ├]-∞,0[∪]0,2┤[ \)

Quel est le domaine de définition d’une fonction \(\sqrt[n]{\frac{4-x^2}{x}}\) si n est

• Si n est impair :

\(Df={xϵR/Q(x)≠0}\)

Exemple : déterminez le domaine de définition ci-dessous

\(f(x)=\sqrt[2]{\frac{x^2-}{x^2-9^4}}\\ x=±\sqrt[]{9}\\ =±3\\ Q(x)=x^2-≠0\\ Df:├]-∞,-3[∪]-3,3[∪]3,±∞┤[\\ x^2≠9 \)

Déterminer le domaine de définition de chacune de fonction suivante :

\(a. f(x)=\frac{\sqrt[]{1-x}}{x+3}\\ b. f(x)=\sqrt[4]{\frac{x^2-5x+6}{(x^2-x+1}}\\ c. y=\sqrt[8]{\frac{x^2-5x+6}{x-5}} \)

\(1-x≥0\\ x≥1 \)

\(Df_1:├]-∞,1].\\ =├]-∞,1├]-∞,3][∪]-3,+∞┤[\\ Df=Df_1∩Df_2=├]-∞,1├]∪]-∞,-3[∪]-3,+∞┤[=├]-∞,-3[∪]-∞,1]. \)

\(2^2-5x+6≥0\\ D=25-24=1\\ \sqrt[]{∆}=±\sqrt[]{1}\\ =±1 \)

\(Df:├]-∞,2├]∪┤[3,+∞┤[\)

\(x^2+x-2=0\\ ∆=(1)^2-4(1)(-2)\\ =9\\ \sqrt[]{∆}=±\sqrt[]{9}\\ =±3 \)

\(Df:├]-∞,-2[∪]-2,1[∪]2,±∞┤[\\ DF_1∩DF_2=├]-∞,2[∪]┤[\\ [3:+∞[∩]-∞,2┤[ ∪├]-2,1[∪]2,+∞┤[= \)