Valeur moyenne d'une intégrale

a. Rappel

Calculez $\int_1^4 (x^2+\frac{1}{\sqrt[]{x}}) \, \mathrm dx$

a. Rappel

$\int_1^4 x^2 \, \mathrm dx +\int_1^4 x^{-\frac{1}{2}} \, \mathrm dx$

$[\frac{x^3}{3}]_1^4+[\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}]$

b. Motivation

Soit Vm=$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \, \mathrm dx$ , que représente Vm=?

b. Motivation

Vm représente la valeur moyenne d'une intégrale définie.

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier la valeur moyenne d'une intégrale.

Analyse

Quelle est la formule de la valeur moyenne d'une intégrale définie ?

Analyse

VALEUR MOYENNE D'UNE INTEGRALE

Soit f une fonction définie et continue sur I=[a, b] m et M deux réels tels que m≤ f (x)≤ M.

$\int_a^b m \, \mathrm dx ≤ \int_a^b f(x) \, \mathrm dx ≤ \int_a^b M \, \mathrm dx$

↔ m(b-a) ≤ $\int_a^b f(x) \, \mathrm dx ≤ M (b-a).$

↔ ≤ $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \, \mathrm dx ≤ M(a≠b)$

D'où la valeur moyenne de la fonction d sur I=[a,b] est définie par :

Vm=$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \, \mathrm dx$

Exemple: calculez la valeur moyenne de la fonction.

f(x)=x² sur I=[0,2]

Vm=$\frac{1}{2-0}\int_0^2 x^2 \, \mathrm dx=\frac{1}{2}[\frac{x^3}{3}]_0^2$

=$\frac{1}{2}[\frac{2^3}{3}.\frac{0^3}{3}]=\frac{1}{2}.\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$

Calculez la valeur moyenne de la f(x)=$\frac{1}{2\sqrt[]{1-x^2}}$ sur I=[0,1]

Vm=$\frac{1}{1-0}\int_0^1 \frac{1}{2\sqrt[]{1-x^2}} \, \mathrm dx$

$=\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[]{1-x}} \, \mathrm dx$

$=\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}} \, \mathrm dx$

$=\frac{1}{2}[Arc sin x]_0^x=\frac{1}{2}[Arc sin 1-Arc sin 0]=\frac{1}{2}.\frac{II}{2}-0=\frac{II}{4}$

La valeur moyenne de la fonction b définie par b(x)=x²-4x+5 sur I=[1,3] vaut:

1, 1/4, 2.2, 3. 7/3, 4. 4/3, 5. 4.

Vm=$\frac{1}{3-1}\int_1^3 (x^2-4x+5) \, \mathrm dx=\frac{1}{2}[\frac{x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+5x]_1^3$

$=\frac{1}{2}[\frac{3^3}{3}-\frac{43^2}{2}+5.3-(\frac{1^3}{3}-\frac{4.1^2}{2}+5.1)]=\frac{4}{3}$