a. Rappel
Calculez ∫41(x2+1√x)dx
a. Rappel
∫41x2dx+∫41x−12dx
[x33]41+[x−1212]
b. Motivation
Soit Vm=1b−a∫baf(x)dx , que représente Vm=?
b. Motivation
Vm représente la valeur moyenne d'une intégrale définie.
c. Annonce du sujet
Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?
c. Annonce du sujet
Aujourd'hui nous allons étudier la valeur moyenne d'une intégrale.
Analyse
Quelle est la formule de la valeur moyenne d'une intégrale définie ?
Analyse
VALEUR MOYENNE D'UNE INTEGRALE
Soit f une fonction définie et continue sur I=[a, b] m et M deux réels tels que m≤ f (x)≤ M.
∫bamdx≤∫baf(x)dx≤∫baMdx
↔ m(b-a) ≤ ∫baf(x)dx≤M(b−a).
↔ ≤ 1b−a∫baf(x)dx≤M(a≠b)
D'où la valeur moyenne de la fonction d sur I=[a,b] est définie par :
Vm=1b−a∫baf(x)dx
Exemple: calculez la valeur moyenne de la fonction.
f(x)=x2 sur I=[0,2]
Vm=12−0∫20x2dx=12[x33]20
=12[233.033]=12.83=43
Calculez la valeur moyenne de la f(x)=12√1−x2 sur I=[0,1]
Vm=11−0∫1012√1−x2dx
=12∫101√1−xdx
=12∫101√1−x2dx
=12[Arcsinx]x0=12[Arcsin1−Arcsin0]=12.II2−0=II4
La valeur moyenne de la fonction b définie par b(x)=x2-4x+5 sur I=[1,3] vaut:
1, 1/4, 2.2, 3. 7/3, 4. 4/3, 5. 4.
Vm=13−1∫31(x2−4x+5)dx=12[x33−4x22+5x]31
=12[333−4322+5.3−(133−4.122+5.1)]=43