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Valeur moyenne d'une intégrale
Matériel didactique : Latte
Objectif opérationnel : A la fin de la leçon, l'élève sera capable de déterminer la valeur moyenne d'une intégrale définie en 5 minutes.

a. Rappel

Calculez 41(x2+1x)dx

a. Rappel

41x2dx+41x12dx

[x33]41+[x1212]

b. Motivation

Soit Vm=1babaf(x)dx , que représente Vm=?

b. Motivation

Vm représente la valeur moyenne d'une intégrale définie.

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier la valeur moyenne d'une intégrale.

Analyse

Quelle est la formule de la valeur moyenne d'une intégrale définie ?

Analyse

VALEUR MOYENNE D'UNE INTEGRALE

Soit f une fonction définie et continue sur I=[a, b] m et M deux réels tels que m≤ f (x)≤ M.

bamdxbaf(x)dxbaMdx

↔ m(b-a) ≤ baf(x)dxM(ba).

↔ ≤ 1babaf(x)dxM(ab)

D'où la valeur moyenne de la fonction d sur I=[a,b] est définie par :

Vm=1babaf(x)dx

Exemple: calculez la valeur moyenne de la fonction.

f(x)=x2 sur I=[0,2]

Vm=12020x2dx=12[x33]20

=12[233.033]=12.83=43

Calculez la valeur moyenne de la f(x)=121x2 sur I=[0,1]

Vm=11010121x2dx

=121011xdx

=121011x2dx

=12[Arcsinx]x0=12[Arcsin1Arcsin0]=12.II20=II4

La valeur moyenne de la fonction b définie par b(x)=x2-4x+5 sur I=[1,3] vaut:

1, 1/4, 2.2, 3. 7/3, 4. 4/3, 5. 4.

Vm=13131(x24x+5)dx=12[x334x22+5x]31

=12[3334322+5.3(1334.122+5.1)]=43