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Equation logarithmique
Matériel didactique : La voie, les exemples
Objectif opérationnel : Au terme de la leçon, l’élève sera capable de définir une équation logarithmique et de résoudre un exercice à l’aide des propriétés et changement de base en 5 minutes.

Rappel

Calculez : log54log3+3log3+log2log4log2

Rappel

log54log3+3log3+log2log4log2

Motivation

Quel est l’exposant de ce logarithme ?

log2(x+1)?

Motivation

L’exposant de ce logarithme est x+1.

Que représente x+1 en algèbre ?

X+1 représente l’équation.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier les équations logarithmiques ?

Qu’est-ce qu’une équation logarithmique ?

Equation logarithmiques

a. Définition

Une équation logarithmique est toute équation où l’inconnue intervient dans l’expression du logarithme.

Comment faut-il faire pour résoudre une équation logarithmique ?

b. Résolution

Pour résoudre une équation logarithmique, on procède comme suit :

- Poser les conditions d’existence des solutions de l’équation.

- Ramener éventuellement les logarithmes à la même base.

- Utiliser les propriétés des logarithmes pour obtenir

- Retenir les valeurs de l’inconnue qui vérifie les conditions posées ci-dessous.

Exemples : résoudre dans IR, l’équation suivante :

log3(x+1) = log32

 

Condition : x+1 ˃ 0

                     X ˃ -1

] – 1, +∞ [

log3(x+1)=log32

X+1 = 2

X = 2-1

X = 1

S= { 1}

Résoudre dans IR, les équations ci-dessous :

a.log2(x+14)+log2(x+2)=6

b.logx+3logx=log104

c.log2(x2)+log2(x1)=log2(2x+8)

 

Condition : x+14 ˃ 0

                     x˃ -14

] -14, +∞ [

] -2, +∞ [

log2(x+14)(x+2)=6log22

X²+2x+14x+28=64

X²+16x+2864=0

=16²4(1)(36)

=256+144

= 400

=±400

= ±20

S = {2}    seul le réel 2 vérifie la condition posée.

Résoudre dans IR, l’équation suivante :

log3x=1/2+log9(4x+15)

X ˃ 0                           et      4x+15 ˃ 0

                                               X ˃ -15/4

]0, +∞[

] -15/4, +∞[

log3x=½log33+log32(4x+5)