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Chers finalistes, préparez-vous pour le grand jour avec nos contenus !

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Angle de deux directeurs
Matériel didactique : Latte, rapporteur
Objectif opérationnel : A l’issue de la leçon, l’élève sera capable de déterminer l’angle de deux directions à l’aide de la formule d’un angle d’une seule direction en 5 minutes.

Rappel

Calculez l’angle formé par OX et la direction de coefficient angulaire 3. Si les axes forment un angle de 60° ?

Rappel

m = 3     tgɤ=3sin60°1+3cos60°=3321+12=3232=332.23=332

Motivation

Que représentent OZ2 et OZ1 ?

Motivation

OZ1 et OZ2 sont les deux directions des angles ɤ 1 et ɤ 2.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier les angles de deux directions.

Que représentent V, ɤ 1 et ɤ ?

Angle de deux directions

V = ɤ 2-ɤ 1 est l’angle formé par les deux directions,

ɤ 1 = l’angle formé par la direction OZ1 et l’axe OX.

ɤ 2 = l’angle formé par la direction OZ2 et l’axe OX.

Trouvons V ; on soit que tg (a-b) = tgatb1+tgatgb

Comme V = ɤ 2-ɤ 1, on a

tg V = tg (ɤ 2-ɤ 1)

=\frac{tgɤ_2-tgɤ_1}{1+tgɤ_2 tgɤ_1} or \\ tgɤ=\frac{msinθ}{1+mcosθ}\\ =\frac{\frac{m_2 sinθ}{1+m_2 sinθ}-\frac{m_1 sinθ}{1+m_1 cosθ}}{1+(\frac{m_2 sinθ}{1+m_2 cosθ})(\frac{m_1 sinθ}{1+m_1 cosθ})}

Après transformation, on a :

tg V =\frac{(m_2-m_1 )sinθ}{1+m_2 m_1+(m_2+m_1 )cosθ}

Si θ = π/2

tg V=\frac{m_2-m_1}{1+m_2 m_1}

 

Calculez l’angle formé par la direction de coefficients angulaires respectifs \frac{4}{5} et -1/5.

Si θ  = 60°

 

tg V=\frac{(-\frac{1}{2}-\frac{4}{5})sin60°}{1+(\frac{1}{5}.\frac{4}{5})+(-\frac{1}{5}+\frac{4}{5})cos60°}\\

=\frac{\frac{-\sqrt[]{3}}{2}}{1-\frac{4}{2}+\frac{3}{5}.\frac{1}{2}}=\frac{\frac{-\sqrt[]{3}}{2}}{1-\frac{4}{25}+\frac{3}{10}}\\

=\frac{\frac{-sqrt[]{3}}{2}}{\frac{50-8+15}{20}}=\frac{-sqrt[]{3}}{2}.\frac{47}{50}=\frac{-47\sqrt[]{3}}{100}

Calculez l’angle formé par la direction de coefficients angulaires respectifs \frac{4}{5} et -1/5.

Si θ  = 90°

tg V=\frac{\frac{-1}{5}-\frac{4}{5}}{1+(\frac{-1}{5}-\frac{4}{5})}=\frac{-1}{1-\frac{4}{5}}=\frac{-1}{\frac{1}{5}}=1.\frac{5}{1}=-5