Les logarithmes

Mathématique - 6ème Math-Physique

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Les logarithmes

Matériel didactique : les exemples, la voie

Objectif opérationnel : A l’issue de la leçon, l’élève sera capable de définir le logarithme et de déterminer les propriétés générales des logarithmes en 5 minutes.

Rappel

Résoudre dans IR², les systèmes d’équations suivantes :

$\left\{ \begin{array}{rcr} x^2+2y^2 & = & 43 \\ x^2-y^2 & = & 16 \\ \end{array} \right.$

Rappel

$-x²-2y² =-43\\ X²-y²= 16\\ -3y² = -27\\ X² = 27/3\\ X² =9\\ X = ±3$ $x²+2y² = 43\\ 2x²-2y² = 32\\ 3x² = 75\\ x² = 75/3\\ x² = 25\\ x = ± 5$

S = {(3,5),(3,-5) ;(-3,5),(-3,-5)}

Motivation

Ecrire le nombre suivant sans forme d’exposant 16 ?

Motivation

16 = 2⁴ ou 16 = 4²

Que représente b dans l’écriture N= $\frac{b}{a}$

B représente le logarithme.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier les logarithmes.

Que constate-t-on si un nombre peut se mettre sous forme d’une puissance ?

Les logarithmes

Exemple : 4²= 16 et on écrit log₄16 = 2

2⁴= 16 et on écrit log₂16 = 4

Qu’appelle-t-on le logarithme de b à base a ?

On constate que si un nombre peut se mettre sous forme d’une puissance, comme par exemple N = a^b,

alors b est le logarithme de N dans la base a.

On note log_aN = b

Définition : soit a ∈IR*, et b ∈IR* et a = 1, on appelle le logarithme de b à base a, le réel x talque a^x= b.

Càd

$log_a⁡ b = x <=> a^x = b$

a = la base

b = Antilogarithme

x = puissance ou l’exposant.

Remarque :

Si a ≠ 10, on a la base quelconque
Si a = 10, on a le logarithme de base 10 ou logarithme décimal.

Si a = e (e = 2,718284878…), on parle de logarithme népérien ou naturel.

Exemple : Déterminez les logarithmes suivants :

$a. log_3⁡ 27 = x <=> 3^x= 27 <=> 3^x=3^3\\ b. log_2⁡ 32 = x <=> 2^x=32<=>2^x=2^5 \\ c. log_4⁡ 1/64=x <=> 4^x=64^{-1} <=> 4^x=4^{-3} <=> x= -3$

Déterminez x sachant que :

log_x4 = 3
$log_x⁡ 32 = 5$
$log_2 5⁡5 = x$

$log_x ⁡4 = 3 <=> x^3=4\\ <=> x= \sqrt[3]{4}$

$log_x⁡ 32=5 <=> x^5=32\\ <=> x^5=25\\ <=> x = \sqrt[5]{25}\\ <=> x= 2$

$log_2 5⁡5=x <=> 25^x=5 \\ <=> 5^2x=5\\ <=> 2x=1\\ <=> x=1/2$

Déterminez les logarithmes suivants :

$log_{\sqrt[]{7}}⁡49$
$log_4 ⁡512$
$log_{49}⁡ 343$

$log_{\sqrt[]{7}⁡}45=x <=> (7)^{1/2}=49 \\ <=> 7^{x/2}= 7^2\\ x/2 = 2\\ x = 4$

$log_4 ⁡512=x <=> 4^x=512 \\ <=> 4^x=4.2\\ X = 8$

$log_{49}⁡ 343=x <=> 49^x=343 \\ <=> 7^{2x}= 7^3\\ 2x = 3\\ X = 3/2$