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Le centre de symétrie
Matériel didactique : Latte
Objectif opérationnel : A l’issue de la leçon, l’élève sera capable de définir un centre de symétrie d’une courbe et résoudre un exercice sur le centre de symétrie à l’aide de la formule en 5 minutes.

Rappel

Déterminer l’axe de symétrie de la fonction f définie par :  f(x)=x1x2x2

Rappel

1(ax)2(ax)2=1(a+x)2(a+x)2a22ax+x2a+x2=a2+2ax+x2ax22ax2ax+2x=04ax+2x=02x(2a1)=02x=02a1=0

Motivation

Quelle est la formule de l’axe de symétrie ?

Motivation

f(a-x)+f(a+x)=2b  est la formule de centre de symétrie.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons étudier le centre de symétrie.

Quelle est la formule pour déterminer le centre de symétrie

Analyse

CENTRE DE SYMETRIE D’UNE n

La fonction f admet comme un centre de symétrie :

f(ax)+f(a+x)=2b

(1)

Nb : si a = et b = o, l’équation (1) devient f(x), d’où la fonction f est impaire

  • La courbe représentative de la fonction f admet un centre de symétrie de coordonnées C(a,b)

Exemple : déterminer le centre de symétrie de la fonction définie par f(x)=x2x+1

(a2)2(ax)+1+(a2)2(ax)+1=2b(a22ax+x2)(ax+1)+(a22ax+x2)(ax+1)=2b(ax+1)(a22ax+x2)+(ax+1)(a22ax+x2)(a2+ax+aaxa2x+a+x+1)=2ba32ax+ax2+2ax2+x3+2ax+x2+a3+2ax+ax2a2x2ax2x3+a2+2ax+x2a2+2ax2+12a3+2a22ax2+2x2=2da2+4ab2bx2+2b(2a+2)x2=2bx2(1)2a3+2a2=2ba2+4ab+2b(2)2a+2=2b(1)2a3+2a2=2ba2+4ab+2b(2)

Dé (1) trouvons b =?

=2(a1)2

b=a1(3)

 

Déterminer le centre de symétrie de la fonction définie par :

(3)dans(2)2a3+2a2=2(a1)a2+4a(a1)2(a1)2a3+2a2=2(a3+a3)+4a24a+2a22a3+2a3=2a2+2a2+4a24a+2a22a2=02a=2a=22

a=I

b=11

b=2

c(a=I)

Déterminer le centre symétrie de la fonction définie par f(x)=x3x3+2

(ab)33(ab)+2+(a+x)33(a+x)+2=26a33a2x+3x2x33a+3x+2+a3+3a2x+3ax2+x3+3a3x+2=2ba3+6ax26a+4=2b

{a36a4=2b(1)6a=0(2)

a=06=0

036.04=2b2b=4b=42[c(0,2)][b=2]2(ax)+1(ax)1=2(a+x)+1(ax)1=2b(2a2x+1)(ax+1)+(2a+2x)(ax1)(ax1)(ax+1)=2b2a22ax+