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Propriété de la dérivée seconde : sens de concavité et le point d’inflexion
Domaine Science Sous domaine Mathématiques
Section Pédagogie Option Pédagogie Générale
Discipline Mathématique Classe 6ème
Matériel didactique Exemples Auteur SCHOOLAP.COM
Objectif opérationnel Au terme de la leçon, l’élève sera capable de définir la concavité et le point d’inflexion et de déterminer le sens de concavité et le point d’inflexion à l’aide de formule en 5 minutes.
Réference Etude de fonction cours et exercices 3éd. pp. 118-121.
Activité initiale

a. Rappel

Déterminez les extremums de cette fonction f(x)=2x2-15x2+36x-14

a. Rappel

f'(x)=6x2-30x+36

f'(x)0↔ x2-5x+6

∆=25-4(1 I  6)

   =1

\(\sqrt[]{∆}=±\sqrt[]{1}=±1\)

f(2)=6.22-30.2+36-14  f(3)=6.33-15.32+36.3-14

     =24-60-36                    =162-135+108-14

     =60-60-14=-14

b. Motivation

Qu'appelle-t-on l'ouverture de la courbe sur cet intervalle ?

b. Motivation

L'ouverture d'une courbe sur un intervalle s'appelle la concavité.

Qu'appelle-t-on le point où la courbe traverse sa tangente ?

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier le sens de concavité et le point d'inflexion.

Activité principale

Qu’est-ce qu’une concavité ?

PROPRIETE DE LA DERIVEE SECONDE

1. Sens de concavité

On appelle concavité d’une courbe, c'est l’ouverture de cette courbe sur cet intervalle.

  • La courbe tourne sa concavité vers les y positifs si et seulement si f’ >0
  • La courbe tourne sa concavité vers les y négatifs si et seulement si f’<0

Qu’appelle-t-on le point d’inflexion ?

2. Le point d’inflexion

On appelle point d’inflexion d’une courbe le point où la courbe traverse sa tangente.

Exemple : Déterminez le sens de la concavité et le point d’inflexion sur la courbe suivante :

f(x)=\(-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x-1\)

f'(x)=-x2+2x+3.

f'(x)=-2x+2.

f'(x)=0↔ -2x+2=0↔-2x=-2↔x=1↔1

La courbe tourne sa concavité vers les y positifs dans]- Ꝏ, 1[et vers les y négatifs dans]- Ꝏ, + Ꝏ [.

Le point d’inflexion est (1 ; 8/3)

Synthèse

Déterminez le sens de concavité de la courbe représentation de la fonction f(x)=x4+2x3-3x2-4x+y.

Déterminez le point d’inflexion de la courbe représentative de la fonction f(x)=x3-6x2+9x-8.