Domaine | Science | Sous domaine | Mathématiques |
Section | Scientifique | Option | Math-Physique |
Discipline | Mathématique | Classe | 6ème |
Matériel didactique | Exemples | Auteur | SCHOOLAP.COM |
Objectif opérationnel | Au terme de la leçon, l'élève sera capable de résoudre un exercice sur le développement en série à l'aide de formules de mac-Laurin et de taylor en 5 minutes. | ||
Réference | Maitriser les math 6.1, pp. | ||
Activité initiale |
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a. Rappel Quelle sont les formules de développement en série de : 1. Taylor ? |
a. Rappel \(f(x)=f(a)+\frac{f'(a)h}{1'}+\frac{f'(a)h^2}{2'}+\frac{f'(a)h^3}{3'}+.....+\frac{f(a)^nh^n}{n!}+R_n\) |
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2. Mac-Laurin |
\(f(x)=f(o)+\frac{f'(o)(x)}{1'}+\frac{f'(o)x^2}{2'}+\frac{f'(o)x^3}{3'}+.....+\frac{f(o)^n(x)^n}{n!}+R_n\) |
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b. Annonce du sujet Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ? |
b. Annonce du sujet Aujourd'hui nous allons étudier ou résoudre les exercices sur le développement en série. |
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Activité principale |
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Calculez le développement de : a. Sin x |
f(x)=sin x →f(o)=sin o=o f'(x)=cosx →f'(o)=cos o=1 f''(x)=-sinx →f''(o)=o f'''(x)=-cosx →f'''(o)=-1 fπ(x)=x-\(\frac{x^3}{6}\) →fπ(o)=o \(f(x)=x-\frac{x^3}{6}\) |
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b.\(\frac{1}{1-X}\) |
\(\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}\) f(o)=(1-O)-1=1 f'(x)=-1(1-x)-2(1-x)'=f''(o)=1 f''(x)2(1-x)-3 → f''(o)=2 f''(x)=2.(-3)(1-x)-4(-1)=6(1-x)-4 f'''(o)=6 fπ(x)=24 (1-x)-5 →fπ(o)=24. f(x)=1+x+x3+x4+x5+x6+..........+nn |
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Synthèse |
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Développez : \(\sqrt[]{1-x}\) |
\(f(x)=\sqrt[]{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2}}f(x)=1\) \(f'(x)=\frac{1}{2}(1-x)^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}(1-x)^{\frac{-1}{2}}\) \(f'(o)=\frac{(1)^{\frac{1}{2}}}{2}=\frac{-1}{2}\) \(f''(x)=\frac{-1}{2}-\frac{1}{2}(1-x)^{\frac{-1}{2}-1}=\frac{1}{4}(1-x)\frac{-3}{2}.\) \(f'''(o)=-\frac{1}{4}(-\frac{3}{2}=-\frac{3}{8}(1-x)^{\frac{5}{2}}\) \(f'''(o)=\frac{-3}{8}=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4.2}-\frac{x^3}{8.2}=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}\) |
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Développer \(\frac{1}{\sqrt[]{1+x}}\) |
\(f(x)=(1+x)^{\frac{-1}{2}}\) f(o)=1 \(f'(o)=-\frac{1}{2}(1+x)^{\frac{-1}{2}-1}=-\frac{1}{2}(1+x)^{\frac{-3}{2}}\) \(f'(o)-\frac{1}{2}(1)^{\frac{-3}{2}}=\frac{-1}{2}\) \(f''(x)=\frac{-1}{2}(-\frac{3}{2})(1+x)^{\frac{-3}{2}-1}=\frac{3}{4}(1+x)^{\frac{-5}{2}}\) f''(o)=\(\frac{3}{4}\) |