Exercices sur les dérivées des fonctions logarithmiques et exponentielle

a. Rappel

Quelle est la formule générale de dérivée suivante :

1. (log u)'= ?

a. Rappel

La formule générale de la dérivée est :

(log u)'=$\frac{u'}{u}$

2. (U^V)'=?

U^V=(V' ln u + $\frac{u'v}{u}).U^V$

3. (ln x)'=?

b. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

b. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons résoudre les exercices sur les dérivées de fonctions logarithmiques et exponentielles.

Calculez les dérivées de fonctions suivantes :

a. log IxI

EXERCICES SUR LES DERIVEES DES FONCTIONS LOGARITHMIQUES ET EXPONENTIELLE.

a. log IxI=$\frac{U'}{U}=\frac{x'}{x}=\frac{1}{x}$

b. log x²

b. $\frac{U'}{U} lna =\frac{(x^2)'}{x^2}ln10=\frac{1}{x}ln100=\frac{2x}{x^2}ln10=ln100\frac{1}{x}=\frac{2ln10}{x}=\frac{1}{x}ln10^2$

c. log$\frac{1+x}{1-x}$

c. log $\frac{1+x}{1-x}=\frac{\frac{(1+x}{1-x})}{\frac{1+x}{1-x}}=\frac{\frac{(1+x)'(1-x)-(1-x)'(1+x)}{(1-x)^2}}{\frac{1+x}{1-x}}$

$=\frac{\frac{1-x-(-1-x)}{(1-x)^2})}{\frac{1+x}{1-x}}$

$=\frac{\frac{2}{(1+x)^2}}{\frac{1+x}{1-x}}=\frac{2}{(1-x)^2}.\frac{1-x}{(1+x)}=\frac{2}{1-x^2}$\)

Calculez les dérivées de fonctions suivantes:

a. $(\frac{a^x}{x})$

$(\frac{(a^x)'.x-a^x(x)'}{x^2})=\frac{(a^xln a)(x)-a^x}{x^2}=\frac{a^x(ln a x-1)}{x^2}$

b.

La dérivée première y=x^2x

Est :

1. 2x^2x  2. 2xlnx  3. x^2x+2    4. x^2x(lnx+2)   5. 2-x^2x

$(x^{2x})'=(2x)'ln x+\frac{(x)'2x}{x})x^{2x}=(2 ln x + \frac{2x}{x})x^{2x}=(2 ln x+2)x^{2x}=2x^{2x}(ln x+1)$