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Distance en coordonnées polaires
Domaine Science Sous domaine Mathématiques
Section Scientifique Option Math-Physique
Discipline Mathématique Classe 6ème
Matériel didactique Latte Auteur SCHOOLAP.COM
Objectif opérationnel A la fin e de la leçon, l’élève sera capable de déterminer la distance de deux points en coordonnées polaires à l’aide de graphique en 5 minutes.
Réference Maitriser les math61, pp 267
Activité initiale

a. Rappel

Trouvez la distance entre les points suivants :

A(-3,4)   et   (5,-1) ?

a. Rappel

\(d= \sqrt[]{((5+3)^2+(-1-4)²)} = \sqrt[]{(64+25)} = \sqrt[]{89} \)

b. Motivation

Quelles sont les coordonnées de points M en axes polaires ?

b. Motivation

X1= ꝭ1cosω1          et       y= ꝭ2cosω1

X2= ꝭ2cosω2        et       y =ꝭ2cosω2

De quoi s’agit-il si on veut calculer l’écart à ces deux points ?

Il s’agit de la distance de deux points en coordonnées polaires.

c. Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier la distance de deux points en coordonnées polaires.

Activité principale

Distance de deux points en coordonnées polaires

Soient deux points A(ꝭ1, ω1)  et  B(ꝭ2, ω2). En coordonnées cartésiennes on a :

A ( x1, y1)   avec x1= ꝭ1cosω1    et y1= ꝭ1sinω1

B ( x2, y2)   avec  x2 = ꝭ2cos ω2   et  y2= ꝭ2 sinω2

 

Exemple :

Calculez la distance de :

  1. A (10, 0°) et M (2, 90°)
  2. K(2, 30°)   et  B (1, 90°)

\(d= \sqrt[]{(10²+2²-2.10.2cos⁡((90)^0-0)°)}\)

\(= \sqrt[]{(104-40cos20°)}\)

\(= \sqrt[]{104}\)

Synthèse

Deux points du sommet opposés d’un arrêt sont A (2, 60°) et        O (5,30°).

Quelle est l’aire de sa surface ?

A (2, 60°)     \(d = \sqrt[]{(2²+5²-2.5cos⁡(60°+30°))}\)

B (5,-30°)        \(d = \sqrt[]{(4+25)}\)

\(d = \sqrt[]{29}\)

\(\frac{d}{2}=\sqrt[]{\frac{29}{2}}\)

 

Quelle est la deuxième coordonnée du point  m (ꝭ= 1) situé à la distance \(\sqrt[]{7}\)  du point p(3,30°). ?

M (1, ω )        \(d = \sqrt[]{(1²+3²-2.1.3cos⁡(30°-ω))}\)

P ( 3, 30°)              \((\sqrt[]{7})²= 4-6cos(30°-ω)\)

7-4  =  -6cos (30°-ω)

                       3   =  -6 cos (30°-ω)

                   3/-6 = cos (30°-ω)

                    1/2  = - cos (30°-ω)

                     1/2 = cos-(30°-ω)

       -30°+ ω = 1/2

       -30°+ω = 60°

       ω = 60°+30°

       ω = 90°

 

Quelle est la distance des points    M(0 , 60)° et   s (6, 102°) ?

 

 

d = 6