Distance en coordonnées polaires

a. Rappel

Trouvez la distance entre les points suivants :

A(-3,4)   et   (5,-1) ?

a. Rappel

$d= \sqrt[]{((5+3)^2+(-1-4)²)} = \sqrt[]{(64+25)} = \sqrt[]{89}$

b. Motivation

Quelles sont les coordonnées de points M en axes polaires ?

b. Motivation

X₁= ꝭ₁cosω₁          et       y= ꝭ₂cosω₁

X₂= ꝭ₂cosω₂        et       y =ꝭ₂cosω₂

De quoi s’agit-il si on veut calculer l’écart à ces deux points ?

Il s’agit de la distance de deux points en coordonnées polaires.

c. Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier la distance de deux points en coordonnées polaires.

Distance de deux points en coordonnées polaires

Soient deux points A(ꝭ₁, ω₁)  et  B(ꝭ₂, ω₂). En coordonnées cartésiennes on a :

A ( x₁, y₁)   avec x₁= ꝭ₁cosω₁    et y₁= ꝭ₁sinω₁

B ( x₂, y₂)   avec  x₂ = ꝭ₂cos ω₂   et  y₂= ꝭ₂ sinω₂

Exemple :

Calculez la distance de :

1. A (10, 0°) et M (2, 90°)
2. K(2, 30°)   et  B (1, 90°)

$d= \sqrt[]{(10²+2²-2.10.2cos⁡((90)^0-0)°)}$

$= \sqrt[]{(104-40cos20°)}$

$= \sqrt[]{104}$

Deux points du sommet opposés d’un arrêt sont A (2, 60°) et        O (5,30°).

Quelle est l’aire de sa surface ?

A (2, 60°)     $d = \sqrt[]{(2²+5²-2.5cos⁡(60°+30°))}$

B (5,-30°)        $d = \sqrt[]{(4+25)}$

$d = \sqrt[]{29}$

$\frac{d}{2}=\sqrt[]{\frac{29}{2}}$

Quelle est la deuxième coordonnée du point  m (ꝭ= 1) situé à la distance $\sqrt[]{7}$  du point p(3,30°). ?

M (1, ω )        $d = \sqrt[]{(1²+3²-2.1.3cos⁡(30°-ω))}$

P ( 3, 30°)              $(\sqrt[]{7})²= 4-6cos(30°-ω)$

7-4  =  -6cos (30°-ω)

                       3   =  -6 cos (30°-ω)

                   3/-6 = cos (30°-ω)

                    1/2  = - cos (30°-ω)

                     1/2 = cos-(30°-ω)

       -30°+ ω = 1/2

       -30°+ω = 60°

       ω = 60°+30°

       ω = 90°

Quelle est la distance des points    M(0 , 60)° et   s (6, 102°) ?

d = 6