Exercices sur les distances des points.

Rappel

Quelle est la formule de distance si les points sont quelconques en axe cartésien ?

Rappel

\(d= \sqrt[]{((x_2+x_1 )^2+(y_2+y_1 )^2+2(x_2-x_1)(y_2-y_1)cos⁡θ )}\)

Déterminez la formule de la distance en axe polaire ?

\(d= \sqrt[]{(ʆ_1^2+ʆ_2^2-2ʆ_1 ʆ_2 cos⁡〖(θ_2-θ_1)〗 )}\)

Donnez la formule de la distance si le point à l’origine en axe rectangulaire ?

\(d = \sqrt[]{(x_1^2+y_1^2+2x_1 x_2 cos⁡θ )}\)

Motivation

Qu’est-ce que j’ai mis au tableau ?

Motivation

Le prof a mis un exercice au tableau.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier ou résoudre les exercices sur la distance de deux points.

Résolvez cet exemple ?

Exercices sur les distances de deux points

1. En axes cartésiennes d’angle θ = 60°, on considère le parallélogramme ABCD avec A(3,3), B(-1,2) et c(-3,-3).

Calculez la longueur de la diagonale BD.

Résolution

Le milieu est [AC], il est aussi le milieu de de BD et   M(0, 0).

\(= \sqrt[]{7}\)La longueur BD= 2BM= \(2\sqrt[]{7}\)

Quel est le périmètre du triangle P_1, P_2, P₃

Avec P₁ (-1, 2), P₂(5,-3), P₃(4,7)

\((P_1 P_2 ) ̅= \sqrt[]{((5+1)^2+(-3-2)²)} = \sqrt[]{61}\)

\((P_1 P_3 ) ̅= \sqrt[]{((4+1)^2+(7-3)²)}= 5\sqrt[]{2}\)

\((P_2 P_3 ) ̅= \sqrt[]{((4-5)^2+(7+3)²)}=\sqrt[]{101}\)

Le périmètre :\(\sqrt[]{61}+5\sqrt[]{2}+\sqrt[]{101}.\)

La distance |AB|= \(\sqrt[]{26}. \)Calculer y sachant que A(-2,7) et B(3,y) ?

\(\sqrt[]{26}= \sqrt[]{((3+2)^2+(y-7)²)}\)

\((\sqrt[]{26)}² = (\sqrt[]{(25+y^2-14y+49))²}\)

\(26 = 25+49+y²-14y\)

\(26 = 74+y²-14y\)

\(-y²+14y-48 = 0\)

\(∆ = (14)²-4(-1).(-48)\)

\(= 196-192\)

\(= 4\)

\(\sqrt[]{∆}= ±\sqrt[]{4}\)

\(= ±2\)

Quelle est l’ordonne du point A d’abscisse 1 si la distance qui le sépare à B (3, 45°) vaut \(\sqrt[]{3} ?\)

13 = 10 - 6 cos (45-ω₁)

3 = -6 cos (45 - ω₁ )

Cos (45 - ω₁ ) = 3/-6

Cos (45° - ω₁ )  = -1/2

Cos (45°- ω₁ ) = cos 120°

         45° - ω₁  = 120

                  ω₁  = 120/45

                  ω₁  = 75

Prouvez que le point M(1,5) est équidistant des points A(0,2)  et  B(2,8).  Si θ = 90° ?