Equations exponentielles.

Rappel

Résoudre dans IR, l’équation suivante :

log(x+1)+colog3 = log (2x -3) + log7

Rappel

X+1

X ˃ -1

] -1, +∞ [

] 3/2, +∞ [

$log\frac{(x+1)}{3}=log(27-3)$

$\frac{x+1}{3}=14x -21$

X+1 = 42x-63

-41x = -64

X = 64/41

S = {64/41}

Motivation

Qu’appelle-t-on une équation logarithmique ?

Motivation

Est une équation dans laquelle l’inconnue est dans l’expression des logarithmes.

Comment appelle-t-on les équations où l’inconnue est dans l’exposant ?

L’équation où l’inconnue est dans l’exposant est appelée équation exponentielle.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier les équations logarithmiques.

Qu’est-ce qu’une équation exponentielle ?

Equations exponentielles

a. Définition : une équation exponentielle est une équation dans laquelle l’inconnue intervient en exposant.

Comment peut-t-on résoudre une équation exponentielle ?

b. Résolution

La résolution d’une équation exponentielle se résume dans l’un de cas suivants :

$1. a^{u(x)}= a^{v(x)} <==˃ u(x) = v(x).$

Exemple :

X²-3x+2x-2 = 0

X²-x-2 = 0

∆ = (-1)²-4(1)(-2)

   = 9

$\sqrt[]{∆}= ±\sqrt[]{9}$

= ± 3

S = {-1, 2}

$2. a^{u(x)} = b, b ϵ IR+ ==˃ log_a⁡ a^{u(x)} = log_a ⁡b$

$U(x) log_a ⁡a = log_a ⁡b$

Exemple : résoudre dans IR, l’équation suivante :

$2^x = 5 ==˃ log_2⁡ 2^x = log_2⁡ 5$

$==˃ x^2 log_2⁡ 2 = log_2 ⁡5$

3. Autres types d’équations

Ce sont des équations qui, après transformation se ramènent à un de cas précédents.

Exemples: $5^{x+1}+2.5^{-x} = 7$

Posons t= 5^x

5t + 2/t = 7

5t²-7t+2 = 0

∆=49 – 5(5)(2)

= 49 -40

= 9

$\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{9}$

= ±3

Pour t = 1                                pour t = 2/5

1=5^x                              5^x=2/5

$log_5 ⁡1 = log_5⁡ 5x$                          $log_5⁡ 5^x =log_5⁡ 2/5$

$xlog_5⁡ 5 = log_5⁡ 1$                                   $xlog_5⁡ 5 = log_5⁡ 2/5$

x = 0             $x = log⁡ 2/5$

 S= { 0, log2/5 }

Résoudre dans IR, les équations suivantes :

$a. 4^{x+1}+31.2^{x-1}= 2$

$\left\{ \begin{array}{rcr} 5^{3x} & = & 25^{y-1} \\ 9^y & = & 3^{x+1} \\ \end{array} \right.$

$c. 3^{x^2-3x+5}= 27$

$d. 3^x= \sqrt[3]{9}$

Posons b = 2^x

$4b²+\frac{31b}{2}=2$

8b²+31b-4 = 0

∆ = (31)²- 4 (8).(-4)

   = 961+128

   = 1089

   = ±33

à rejeter

$2^x = 1/8 ==˃ 2^x= \frac{1}{2^3}==˃ 2^x = 2^{-3} ==˃ x = -3$

Résoudre dans IR, l’équation suivante :

$2^{4x}-6.2^{3x}+6.2^x-1= 0$

$8^{2x}-3.8^x= 4$

$6^x+\frac{1}{6^x}-2=0$

$2^{4x}-6.2^{3x}+6.2^x-1= 0$

Posons t=2^x

$t^4-6t^3+6t-1 = 0$

$(t^4-1)+(-6t^3+6t)= 0$

$(t^4-1)-6t(t^2-1)= 0$

$(t²-1)( t²+1)-6t(t²-1) = 0$

$(t²-1)( t²+1-6t) = 0$

$(t²-1)( t²-6t+1) = 0$

$(t-1)( t+1)( t²-6t+1) = 0$

$t=1 t= -1$

$∆= 36-4(1).(1) = 32$

$\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{32} = ±2\sqrt[]{2}$