| Domaine | Science | Sous domaine | Mathématiques | ||
| Section | Scientifique | Option | Math-Physique | ||
| Discipline | Mathématique | Classe | 6ème | ||
| Matériel didactique | La latte, craie de couleur, la voie. | Auteur | SCHOOLAP.COM | ||
| Objectif opérationnel | A l’issue de la leçon, l’élève sera capable de définir l’équation exponentielle et de résoudre un exercice à l’aide de principe de résolution en 5 minutes. | ||||
| Réference | Maitriser les math 5e, pp 45-47. | ||||
Activité initiale |
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Rappel Résoudre dans IR, l’équation suivante : log(x+1)+colog3 = log (2x -3) + log7 |
Rappel X+1 X ˃ -1
] -1, +∞ [
] 3/2, +∞ [ \(log\frac{(x+1)}{3}=log(27-3)\) \(\frac{x+1}{3}=14x -21\) X+1 = 42x-63 -41x = -64 X = 64/41 S = {64/41} |
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Motivation Qu’appelle-t-on une équation logarithmique ? |
Motivation Est une équation dans laquelle l’inconnue est dans l’expression des logarithmes. |
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Comment appelle-t-on les équations où l’inconnue est dans l’exposant ? |
L’équation où l’inconnue est dans l’exposant est appelée équation exponentielle. |
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Annonce du sujet Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ? |
Annonce du sujet Aujourd’hui nous allons étudier les équations logarithmiques. |
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Activité principale |
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Qu’est-ce qu’une équation exponentielle ? |
Equations exponentielles a. Définition : une équation exponentielle est une équation dans laquelle l’inconnue intervient en exposant. |
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Comment peut-t-on résoudre une équation exponentielle ? |
b. Résolution La résolution d’une équation exponentielle se résume dans l’un de cas suivants : \(1. a^{u(x)}= a^{v(x)} <==˃ u(x) = v(x).\) Exemple :
X²-3x+2x-2 = 0 X²-x-2 = 0 ∆ = (-1)²-4(1)(-2) = 9 \(\sqrt[]{∆}= ±\sqrt[]{9}\) = ± 3
S = {-1, 2} \(2. a^{u(x)} = b, b ϵ IR+ ==˃ log_a a^{u(x)} = log_a b\) \(U(x) log_a a = log_a b\)
Exemple : résoudre dans IR, l’équation suivante : \(2^x = 5 ==˃ log_2 2^x = log_2 5\) \(==˃ x^2 log_2 2 = log_2 5\)
3. Autres types d’équations Ce sont des équations qui, après transformation se ramènent à un de cas précédents. Exemples: \(5^{x+1}+2.5^{-x} = 7\) Posons t= 5x 5t + 2/t = 7 5t²-7t+2 = 0 ∆=49 – 5(5)(2) = 49 -40 = 9 \(\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{9} \) = ±3
Pour t = 1 pour t = 2/5 1=5x 5x=2/5 \(log_5 1 = log_5 5x\) \(log_5 5^x =log_5 2/5\) \( xlog_5 5 = log_5 1\) \(xlog_5 5 = log_5 2/5\) x = 0 \(x = log 2/5\) S= { 0, log2/5 } |
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Synthèse |
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Résoudre dans IR, les équations suivantes : \(a. 4^{x+1}+31.2^{x-1}= 2\) \(\left\{ \begin{array}{rcr} 5^{3x} & = & 25^{y-1} \\ 9^y & = & 3^{x+1} \\ \end{array} \right.\) \(c. 3^{x^2-3x+5}= 27\) \(d. 3^x= \sqrt[3]{9}\) |
Posons b = 2x \(4b²+\frac{31b}{2}=2\) 8b²+31b-4 = 0 ∆ = (31)²- 4 (8).(-4) = 961+128 = 1089 = ±33
à rejeter \(2^x = 1/8 ==˃ 2^x= \frac{1}{2^3}==˃ 2^x = 2^{-3} ==˃ x = -3\) |
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Résoudre dans IR, l’équation suivante : \(2^{4x}-6.2^{3x}+6.2^x-1= 0\) \(8^{2x}-3.8^x= 4\) \(6^x+\frac{1}{6^x}-2=0\) |
\(2^{4x}-6.2^{3x}+6.2^x-1= 0\) Posons t=2x \(t^4-6t^3+6t-1 = 0\) \((t^4-1)+(-6t^3+6t)= 0\) \((t^4-1)-6t(t^2-1)= 0\) \((t²-1)( t²+1)-6t(t²-1) = 0\) \((t²-1)( t²+1-6t) = 0\) \((t²-1)( t²-6t+1) = 0\) \((t-1)( t+1)( t²-6t+1) = 0\) \(t=1 t= -1\) \(∆= 36-4(1).(1) = 32 \) \(\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{32} = ±2\sqrt[]{2}\)
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