Composition des fonctions.

Rappel

Examinez la parité de la fonction

\(a. Y = 2 |tg\frac{x}{2} |-3\)

\(b. b. Y =2 cos 3x +5 tg 3x\)

Rappel

\(Y = 2 |tg\frac{x}{2} |-3=2|tg\frac{x}{2} | -3 \): la fonction est paire.

\(2|-tg\frac{x}{2} | -3 \)

Y= 2 cos(-3)+5tg(-3)

  = 2 cos 3x -5 tg x         f n’est ni paire ni impaire.

Motivation

De quoi se compose une famille restreinte ?

Motivation

Une famille restreinte est composée de papa, maman et les enfants.

Que forme la relation suivante :

Cette relation forme une composition d’une famille.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Nous allons étudier aujourd'hui la composition des fonctions.

Analyse

Analyse

Composition des fonctions

Soit f :  E→F   et F→G  deux fonctions. La composée de f et g pris dans cet ordre est la fonction fog de E vers G telle que :

fog = f[g(x)] et gof = g [f(x)]

Exemple : on donne les fonctions g(x) = \(\frac{3x}{4}-5\)

Et h(x) = \(\frac{2x+3}{5}\)

Calculez : goh(x)

gof(x) = g(f(x)] = \(\frac{3\frac{(2x-3)}{5}}{4}-5=\frac{\frac{6x-9}{5}}{4}\\ =\frac{6x-9}{5}.\frac{1}{4}-5=\frac{6x-9}{20}-5\\ =\frac{6x-9-100}{20}=\frac{6x-100}{20}\)

Déterminez la composée golf dans les cas suivants : f(x) = 2x+3 et g(x) =\(\frac{x+1}{x-2}\)

\(fog (x) = g[g(x)] =2.(\frac{x+1}{x-2})+3=\frac{2x+2}{x-2}+3\\ \frac{2x+2+3x-6}{x-2}\\ fog (x) =\frac{5x-4}{x-2}\)

f(x) = sin x + cos x et g(x) = x² la composée, sa valeur gof au point d’abscisse 0 vaut :

a. 2                 c. -1             e. ½

b. 1                 d. 0

gof(x) = g[f(x)] = (sin x + cos x)²

           = sin²x+2sin x.cos x + cos² x

           = sin²x + cos²x+2sin x.cos x

           = 1+2sinx.cosx

f(o) = 1+2sin(0).cos(0)

       = 1+2.0.1

       = 1

gof(x) = 1+2sinx cosx

l’expression de la composée gof est :

1. 1+sinx
2. 1+cosx
3. 1+sin2x
4. 1+cos2x
5. 1+sinx cos x.