Equation de la forme sin x = a

Rappel

Qu’est-ce qu'une équation trigonométrique ?

Rappel

Est celle dont l’inconnue x intervient par l’intermédiaire d’une ou de plusieurs foncions trigonométriques

Donnez-en un exemple ?

cot x – cos x = 0

Motivation

Que signifie résoudre une équation trigonométrique?

Motivation

c’est trouver l’ensemble des réels x qui la vérifient

Donnez un exemple d’une équation trigonométrique simple ? 

Sin x = a

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Nous allons étudier aujourd'hui l'Equation de la forme sin x = a

Que signifie résoudre une équation  sin x = a ?

EQUATION DE LA FORME : sin x = a

Résolution : résoudre l’équation sin x = a c’est trouver l’ensemble des réels x dont l’image par la fonction sinus est a

Quand est-ce que l’équation sin x = a admet des solutions dans R ?

Principe :

l’équation sin x = a (a∈ R) admet des résolutions dans R si et seulement si – 1 ≤ a ≤ 1

Si – 1 ≤ a ≤ 1, alors il existe au moins un réel  ω  tel que sin   ω   = a

Comment peut-on écrire l’équation sin x = a si – 1 ≤ a ≤ 1 ?

L’équation sin x = a peut alors s’écrire sin x = sin  ω (ω ∈ R)

Exemple :

Résoudre dans R, l’équation suivante : sin x = \(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\)

\(sin x = \frac{\sqrt[]{3}}{2} ↔ sin x = sin \frac{π}{3}\\ ↔ x = \frac{π}{3} + 2 K? ou x = \frac{2π}{3} +2K? \\ S = (\frac{π}{3} + \frac{π}{3}, K ∈π ) ∪ (\frac{2π}{3} +2K?, K ∈π)\\ \)

Que signifie l’équation sin x = a ? 

Résoudre l’équation sin x = a, c’est trouver l’ensemble des réels x dont l’image par la fonction sinus est a.

Comment peut-on écrire l’équation sin x = a ?

Sin x = sin W

Quel est le principe fondamental

sin x = a ?

L’équation sin x = a admet des solutions dans ↔ – 1 ≤ a ≤ 1 

Résoudre dans R, les équations ci-après :

\(a. 1 + 2 sin 3x = 0 [?,2?]\\ b. 2 cos 2x - \sqrt[]{3} = 0\\ c. sin 5x – sin \frac{8π}{3} = 0 \)

\(1 + 2 sin 3x = 0 ↔ sin 3x = - \frac{1}{2}\\ ↔ sin 3x = sin \frac{7π}{6}\\ 3x = \frac{7π}{6} + 2K?\\ x = \frac{7π}{18} + \frac{2Kπ}{3} \\ou\\ x = (? - \frac{7π}{6} ) + 2K?\\ x = \frac{-π}{18} + \frac{2Kπ}{3}\\ x = \frac{7π}{18} + \frac{2Kπ}{3} \\ou\\ x = \frac{-π}{18} + 2K?\\ \)