Propriété de la dérivée 1ère : Maximum et minimum

Rappel

Déterminez les intervalles dans lesquelles la fonction f(x) = x² + 4x + 2 est croissante ou décroissante

Rappel

f’(x) = 2x + 4   

f’ (x) = 0

2x = - 4

x = - 2

f’ (-2) = (-2)2 + 4(-2) + 2

f est   ↗     dans] - 2 , +∞ [

f est    ↘    dans] - ∞  , -2 [

Motivation

Comment peut – on reconnaitre si la fonction est croissante ou décroissante dans un tableau ?

Motivation

Pour reconnaitre la fonction est croissante ou décroissante dans un tableau, on indique la flèche montante  ↗   et la flèche descente    ↘ 

Comment s’appelle la correspondance du changement de signe de la dérivée 1ère ?

Ce changement forme des extrémums (Maximum et minimum)

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Nous allons étudier aujourd'hui la propriété de la dérivée 1ère : Maximum et minimum

Analyse

Que faut – il faire pour déterminer le Maximum et minimum d’une fonction ?

Analyse

PROPRIETE DE LA DERIVEE PREMIERE

LES EXTREMUNS (MAXIMUM ET MINIMUM) 

Pour déterminer un extrémum (Maximum et minimum) d’une fonction y de x, on détermine les valeurs de x pour lesquelles y’ est nulle ou n’existe pas.

On vérifie si ’y change de signes ;

Y passe du négatif au positif, il y a un minimum

Exemple : Déterminez les extremums de la fonction suivante :$y = x^2 – 6x + 5\\ y’ = 2x – 6\\ y’ = 0 → 2x – 6 = 0\\ x=\frac''{ 6}{2} = 3\\ f(3) = 3^2 – 6.3 + 5\\ = 9 – 18 + 5\\ = - 4$

Déterminez les extremums de chacune des fonctions ci-après :

$a. y = 2x^3 – 3x^2 – 12x – 5\\ b. f(x) = \frac{-x^3}{a} + x^2 + 3x - \frac{11}{3}\\ c. f(x) = \frac{x^(3 )-10x^2 }{1-x}\\ d. f(x) = 3 (2 – x)^2$

Déterminez les extremums de la fonction ci-dessous :

$f(x) = \frac{x^2 -x-6}{x-2}$