| Domaine | Science | Sous domaine | Mathématiques | |
| Section | Scientifique | Option | Math-Physique | |
| Discipline | Mathématique | Classe | 6ème | |
| Matériel didactique | Exemples | Auteur | SCHOOLAP.COM | |
| Objectif opérationnel | Au terme de la leçon l’élève sera capable de déterminer l’équation de l’asymptote à l’aide de la dérivée première en 5 minutes | |||
| Réference | Etudes d’une fonction 3èd. J.N. MAKIADI pp.67- | |||
Activité initiale |
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Rappel Déterminez l’équation de l’A.V à la courbe représentative de la fonction suivante : \(f(x) = \frac{x-3}{x-2}\) |
Rappel \(f(x) = \frac{x-3}{x-2} lim_{x →2} \frac{x-3}{x-2}= lim_{x →2} \frac{-1}{0} = ∞ \) x-2 = 0 x = 2 d’où x = 2 est l’équation de l’A.V |
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Motivation Quelle est l’équation de l’asymptote verticale ? |
Motivation L’asymptote verticale a comme équation x = a |
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Comment appelle-t-on l'asymptote dont la droit est ni horizontale ni verticale ? |
L’asymptote où la droite est ni horizontale ni verticale s’appelle asymptote oblique. |
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Annonce du sujet Qu'allons nous étudier aujourd'hui ? |
Annonce du sujet Nous allons étudier aujourd'hui l’asymptote oblique. |
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Activité principale |
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Quand – t – est – ce que la droite d’équation y = ax + b = admet une asymptote oblique ? |
ASYMPTOTE OBLIQUE La droite d’équation y = ax + b est une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f si et seulement si :
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Comment peut – on trouver a et P ? |
a est dite la direction asymptotique. Exemple : Déterminer l’équation de l’asymptote oblique dee la courbe représentative suivante: |
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Résolvez cette équation ? |
\(f(x) = \frac{3x^2-2}{x-1}\\ lim_{x →±∞} \frac{\frac{3x^2-2}{x-1}}{x} = lim_{x →±∞} \frac{3x^2-2}{x^2-1}\\ lim_{x →±∞} \frac{3x^2}{x^2 } = 3\\ lim_{x →±∞} \frac{3x^2-2}{x-1} – 3x = lim_{x →±∞} \frac{3x^2-2+3x^2+3x}{x-1}\\ lim_{x →±∞} \frac{3x-2}{x-1} = lim_{x →±∞} \frac{3x}{x} = 3 \\\) |
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Quelle est l’équation de l’asymptote obtenue ? |
y = 3x + 3 est l’équation de l’asymptote oblique. |
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Synthèse |
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Déterminez les équations de l’asymptote oblique des courbes représentatives suivantes : \(a. f(x) = \sqrt[]{9x^2+5}\) |
\(a’ = lim_{x →±∞} \sqrt[]{\frac{9x^2+5}{x}} = lim_{x →±∞} \frac{3x}{x} = 3\\ \) si a = 3 \(P = lim_{x →±∞} \sqrt{9x^2+5} - 3x = lim_{x →±∞} \sqrt[]{9(+∞)^2 } - 3+∞= +∞ - ∞ F.I\\ lim_{x →±∞} \frac{(\sqrt[]{9x^2+5}) -3) (\sqrt[]{9x^2+5}+3x)}{\sqrt[]{9x^2+5} +3x}\\ lim_{x →±∞} \frac{9x^2+5-9x^2}{\sqrt[]{9x^2+5 +3x}} = lim_{x →±∞} \frac{5}{(\sqrt[]{9x^2 +3x}}\\ lim_{x →±∞} \frac{5}{3x+3x} = lim_{x →±∞} = \frac{5}{6x}=0\) |
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Déterminez l’équation de l’asymptote oblique de l courbe représentative suivante : \(y = 3x + \sqrt[]{9x^2-16}\) |
y = 3x et y = - 3x |
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