Intégration par partie

Rappel

Calculez  \(∫3 (1+x)^2 dx\)

Rappel

1 + x = t

dx = dt       \(3 \frac{t^3}{3} + C = \frac{3t^3}{3} + C \)

Motivation

Comment peut-on calculer une intégration ?

Motivation

Une intégration peut être calculée par l’utilisation de certaines méthodes appelées méthodes d’intégration.

Comment appelle-t-on la méthode qui consiste à intégrer un produit de facteur d’un polygone à une fonction exponentielle ?

La méthode qui consiste à utiliser le produit de facteur d’un polygone à une fonction exponentielle s’appelle l’intégration par partie.

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Nous allons étudier aujourd'hui l’intégration par partie.

Quand utilise-t-on l'intégration par partie ?  

INTEGRATION PAR PARTIE

La fonction à intégrer est :

• Un produit dont la dérivée d’un facteur ne donne pas l’autre en particulier, il s’agit des produits ;
• Une fonction exponentielle par un polynôme ;
• Une fonction exponentielle par une fonction trigonométrique ;
• Un polynôme par une fonction trigonométrique ;
• Un polynôme par une fonction logarithmique.

Exemple : calculez :

u=x                dv = e^x dx

du = dx          v = e^x

Calculez :

\(∫(2x-1) e^x dx\)

u = 2x – 1                dv = e^x dx

du = 2 dx                  v  = e^x

\(b. ∫ x^2 sinx dx\)

u = x²                       dv = sinx

du = 2x dx                  v  = - cosx

∫ cos x  2x dx

u = 2x                       dv = cos x

du = 2x dx                  v  = sin x

= 2x. sin x - ∫ sin x 2 dx 

=  2x. sin x - 2 ∫ sin x dx   

=  2x. sin x + 2 cos x + C    (I2) : I1 + I2

\(∫ x^2 lnx dx\)

u = lnx                       dv = x^2

\(∫ x^2 lnx dx = lnx . \frac{x^3}{3} - ∫ \frac{x^3}{3}.\frac{1}{x} dx\\ lnx . \frac{x^3}{3} - \frac{1}{x} ∫ \frac{x^3}{3} dx = lnx .\frac{ x^3}{3} - \frac{1}{x} ∫x^2 dx\)