Propriété de la dérivée seconde : sens de la Concavité et le point d’inflexion

Rappel

Déterminez les extrema de y = 2x³  + 3x² – 12x – 5 =

Rappel

y’’ = 6x² – 6x – 12

y = 0 ↔ 6x² – 6x – 12 = 0

∆ = 36 – 4.6. (-12)

= 36 + 288

\(\sqrt[]{∆} = ∓ \sqrt[]{324}\\ = ∓ \sqrt[]{18}\)

Motivation

Soit les données suivantes : (-2, 2) ;

(-2, -2) ; (0,0) représentez graphiquement ? 

Motivation

Comment appelle-t-on ces  paraboles ?

Ces paraboles s’appellent les concavités.

Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Nous allons étudier la propriété de la dérivée seconde : sens de la Concavité et le point d’inflexion.

De quoi dépend le sens de la concavité de la courbe d’équation y = (fx) ?

PROPRIETE DE LA DERIVEE SECOND SENS DE CONCAVITE ET POINT D’INFLEXION

A. SENS DE CONCAVITE

Le sens de la concavité de la courbe d’équation y = (fx)  est déterminé par le signe de y’’              

Quand-est-ce que la concavité de la courbe tourne vers les axes ox et oy ?

  Si y’’>  0, la concavité tourne vers le sens positif de oy (vers le haut)

                Si y’’< 0, la concavité tourne vers le sens négatif de oy (vers le bas  de oy).

Qu’est-ce que le point d’inflexion ?

B. POINT D’INFLEXION

On appelle point d’inflexion, un point où la courbe traverse sa tangente.

Que faut-il faire pour déterminer le point d’inflexion d’une courbe ?  

Pour déterminer un point d’inflexion d’une courbe, on détermine les valeurs de x pour lesquelles y’’ est nulle ou n’existe pas.

On vérifie si pour ces valeurs, y est continue, y’ existe et y’’ change de signe.

Exemple : déterminez  le point d’inflexion et le sens de la concavité de la courbe ci-dessous:

Si (f2) = 2³ – 6.2² +9.2 – 8 = - 6.

Dans quel intervalle tourne sa concavité vers les y positifs et vers les y négatifs ?

• La courbe tourne sa concavité vers les y point f sur
• ] 2,+∞ [
• La courbe tourne sa concavité vers y négatif sur]-∞,2,[

Déterminez son point d’inflexion.

Le point d’inflexion est (2 ; 6)

De quoi dépend le point d’inflexion d’une fonction ?

Le point d’inflexion dépend de la dérivée seconde.

Qu’est – ce que le point d’inflexion ?

Est un point où la courbe traverse sa tangente 

Déterminez le sens de concavité et le point d’inflexion de la fonction

y = x³ – 3x² – 9x +1